Карандаш и циркуль фаллаут надпись на парте квадрат разности надпись на парте баттерс надпись на парте хищник надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Эксперт — это человек, который больше уже не думает; он знает.Фрэнк Хаббард
На главную страницу На главную страницу на главную

Как внести под знак корня

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо
Важно! Галка

Внести множитель под знак квадратного корня — значит возвести множитель во вторую степень (в «квадрат») и поместить его под знак корня.

При внесении множитель умножается на подкоренное выражение.

72 = 72 · 2 = 72 · 2 =

= 49 · 2 = 98

Рассмотрим на различных примерах, как вносить множитель под корень.

№ 527 (2) Мерзляк 8 класс

Внесите множитель под знак корня:

313;

Возводим «3» во вторую степень и вносим под знак корня: «32».

Важно! Галка

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от «1» до «15» и таблицу часто используемых квадратных корней.

Замена «3 = 32» возможна, так как извлечение квадратного корня и возведение в квадрат — это взаимно обратные друг другу действия.

3 · 13 = 32 · 13 = …

Используем свойство квадратного корня из произведения.

a · b = a · b

313 = 32 · 13 = 32 · 13 =

= 9 · 13 = 108

Кратко внесение множителя под знак корня записывают следующим образом:

313 = 32 · 13 = 9 · 13 = 108

Говорят: «Множитель «3» внесли под знак корня, получив «9».

Примеры внесения множителя под знак корня

№ 350 (3) Колягин (Алимов) 8 класс

Внести множитель под знак корня:

2 ·
символ квадратного корня
1
2
+
1
2
· 28;

Заменим «2» и «
1
2
» их квадратами под знаком квадратного корня.
2 ·
символ квадратного корня
1
2
+
1
2
· 28 =
= 22 ·
символ квадратного корня
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2
· 28 = …

Используем свойство квадратного корня из произведения.

a · b = a · b

2 ·
символ квадратного корня
1
2
+
1
2
· 28 =
= 22 ·
символ квадратного корня
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2
· 28 =
=
символ квадратного корня 22 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=

=
символ квадратного корня 4 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
= …

Умножим «4» на дробь «
1
2
» по правилу умножения дроби на число.
2 ·
символ квадратного корня
1
2
+
1
2
· 28 =
= 22 ·
символ квадратного корня
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2
· 28 =
=
символ квадратного корня 22 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=

=
символ квадратного корня 4 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=
=
символ квадратного корня
4 2 · 1
2 1
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=
= 2 +
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
= …

Возведем в квадрат дробь « (
1
2
)2
» по правилу возведения дроби в квадрат.
2 ·
символ квадратного корня
1
2
+
1
2
· 28 =
= 22 ·
символ квадратного корня
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2
· 28 =
=
символ квадратного корня 22 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=

=
символ квадратного корня 4 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=
=
символ квадратного корня
4 2 · 1
2 1
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=
= 2 +
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=

= 2 +
символ квадратного корня
12
22
· 28
=
= 2 +
символ квадратного корня
1
4
· 28
=
= 2 +
символ квадратного корня
1 · 28 7
4 1
= 2 + 7

Внесение отрицательного множителя под корень

Запомните! !

При внесении отрицательного числа под знак квадратного корня минус всегда остается перед знаком корня.

Запомните правило: «При внесении отрицательного множителя> под знак квадратного корня минус всегда «остается за бортом!».

№ 527 (4) Мерзляк 8 класс

Внесите множитель под знак корня:

−1014;

Прежде чем вносить число «10» под знак корня, отдельно запишем знак минуса «» как умножение на «−1».

1014 = (−1) · 1014 = …

Теперь внесем только положительное число «10» под знак корня, возведя его в квадрат. Знак минуса оставляем перед квадратным корнем.

1014 = (−1) · 1014 =
= (−1) · 102 · 14 =
= (−1) · 100 · 14 =
= (−1) · 1400 = …

Обычно умножение на «(−1)» заменяют знаком минуса впереди, так как смысл от этого не меняется.

1014 = (−1) · 1014 =
= (−1) · 102 · 14 =
= (−1) · 100 · 14 =
= (−1) · 1400 =

=   1400

Кратко решение примера записывают следующим образом:

−1014 =   102 · 14 =
=   100 · 14 =   1400

№ 528 (8) Мерзляк 8 класс

Внесите множитель под знак корня:

1
3
18p;

При внесении отрицательных дробей под знак корня, знак минуса также остается перед квадратным корнем.

1
3
18p = (−1) ·
1
3
18p =
= (−1) ·
символ квадратного корня (
1
3
) 2 · 18p
=
= (−1) ·
символ квадратного корня
12
32
· 18p
=

= (−1) ·
символ квадратного корня
1
9
· 18p
=
= (−1) ·
символ квадратного корня
1 · 18  2 · p
9 1
=
= (−1) · 2p =   2p

Внесение буквы под знак корня

Важно! Галка

При внесении буквы под знак квадратного корня эта буква возводится во вторую степень.

  • p3 = p2 · 3 = 3p2
        , где p ≥ 0 ;

Если буква уже находится во второй степени, то ее степень умножается на «2» по правилу возведения степени в степень.

  • b27 = (b2)2 · 7 =

    = b2 · 2 · 7 = b4 · 7 =

    = 7b4
        , где b ≥ 0 ;

  • x3y = (x3)2 · y =

    = x3 · 2 · y = x6 · y =

    = x6y
        , где x ≥ 0, y ≥ 0 .

№ 351 (3) Колягин (Алимов) 8 класс

Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):

a ·
символ квадратного корня
1
a
;

Запишем букву «a» в виде ее квадрата под знаком квадратного корня «a2».

a ·
символ квадратного корня
1
a
= a2·
символ квадратного корня
1
a
= …

По свойству произведения квадратных корней запишем их умножение под одним знаком корня.

a ·
символ квадратного корня
1
a
= a2·
символ квадратного корня
1
a
=
символ квадратного корня a2 ·
1
a
=
=
символ квадратного корня
a2 · 1
a
=
символ квадратного корня
a2
a
= a

№ 351 (4) Колягин (Алимов) 8 класс

Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):

1
x2
3x5;

Возведем в квадрат всю дробь «
1
x2
» и занесем ее под знак квадратного корня.
1
x2
3x5 =
символ квадратного корня (
1
x2
) 2 · 3x5
= …

Используем свойство возведения степени в степень.

1
x2
3x5 =
символ квадратного корня (
1
x2
) 2 · 3x5
=
=
символ квадратного корня
12
(x 2) 2
· 3x5
=
символ квадратного корня
1
x2 · 2
· 3x5
=

=
символ квадратного корня
1
x4
· 3x5
=
символ квадратного корня
1 · 3x5
x4
=
=
символ квадратного корня
3x5
x4
= …

Используем свойство частное степеней.

1
x2
3x5 =
символ квадратного корня (
1
x2
) 2 · 3x5
=
=
символ квадратного корня
12
(x2)2
· 3x5
=
символ квадратного корня
1
x2 · 2
· 3x5
=

=
символ квадратного корня
1
x4
· 3x5
=
символ квадратного корня
1 · 3x5
x4
=

= 3x5 − 4 = 3x1 = 3x

Внесение под корень буквы с минусом

Запомните! !

При внесении под знак квадратного корня буквы с минусом знак минуса всегда остается перед знаком корня.

Запомните правило: «При внесении отрицательной буквы под знак корня минус всегда «остается за бортом!».

№ 15.20 (б) Мордкович 8 класс

Внесите множитель под знак корня (всюду в этом параграфе предполагается, что переменные принимают только положительные значения):

b10;

Вместо знака минуса «» перед буквой «b» запишем умножение на «−1».

b10 = (−1) · b10 = …

Теперь внесем букву «b» под знак корня, возведя ее в квадрат. Множитель «−1» оставим перед знаком квадратного корня.

b10 = (−1) · b10 =
= (−1) · b2 · 10 =   10b2

№ 4.140 (8) Кузнецова 8 класс

Внесите множитель под знак квадратного корня при p > 0 и k > 0:

9p5k;

Чтобы не путаться при внесении буквы с числом под знак квадратного корня, удобно сначала внести числовой множитель, а затем букву.

9p5k = p592 · k = p581 · k = …

После внесения числа «9» под знак корня перейдем к внесению буквы «p5», возведя её во вторую степень.

9p5k = p592 · k =

= p581 · k = (p5)2 · 81 · k =

= p5 · 2 · 81 · k = p10 · 81 · k = …

Запишем окончательный ответ в стандартном виде одночлена: сначала число, затем буквы в алфавитном порядке.

9p5k = p592 · k =

= p581 · k = (p5)2 · 81 · k =

= p5 · 2 · 81 · k = p10 · 81 · k =

= 81 · k · p10

Как внести множитель в скобках под корень

Запомните! !

При внесении под знак квадратного корня выражения в скобках, нужно возвести во вторую степень всё выражение в скобках.

№ 4.145 (2) Кузнецова 8 класс

Внесите множитель под знак квадратного корня.

(2 − 5) · 3;

Внесем множитель «(2 − 5)» под знак квадратного корня, возведя всё выражение во вторую степень.

(2 − 5) · 3 =
символ квадратного корня (2 − 5)2 · 3
= …

Используем формулу сокращенного умножения «Квадрат разности»
для «(2 − 5) 2».

Важно! Галка

Обязательно выучите наизусть формулы сокращённого умножения.

В старшей школе большинство заданий требует знания этих формул.

Не забудем, что под знаком корня уже был множитель «3».

(2 − 5) · 3 =
символ квадратного корня (2 − 5)2 · 3
=

=
символ квадратного корня (22 − 2 · 2 · 5 + (5)2 ) · 3
=
=
символ квадратного корня (4 − 45 + 5) · 3
=

=
символ квадратного корня (9 − 45) · 3
= …

Раскроем скобки и завершим пример.

(2 − 5) · 3 =
символ квадратного корня (2 − 5)2 · 3
=

=
символ квадратного корня (22 − 2 · 2 · 5 + (5)2 ) · 3
=
=
символ квадратного корня (4 − 45 + 5) · 3
=

=
символ квадратного корня (9 − 45) · 3
=

=
символ квадратного корня 3 · 9 − 3 · 45
=
символ квадратного корня 27 − 125