Карандаш и циркуль люди в черном надпись на парте рокки надпись на парте sin(x) = 1 оно надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Если точно знаешь, что хочешь сказать, то скажешь хорошо. Гюстав Флобер
На главную страницу На главную страницу на главную

Область определения функции

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо
Важно! Галка

Прежде чем перейти к изучению области определения функции внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

у = 2x
  • « x » называют независимым аргументом функции;
  • « y » зависимой переменной или значением функции.

Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».

Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.

x y = 2x
x = −2 у = 2 · (−2) = −4
x = 0 y = 2 · 0 = 0
x =
1
2
y = 2 ·
1
2
=
2 · 1
2
= 1
x = 3 y = 2 · 3 = 6
Запомните! !

Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).

Обозначают область определения функции как:

D(y)

Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».

x y = 2x
−2 −4
0 0
1
2
1
3 6

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.

Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:

  • −2
  • 0
  • 10
  • 30,5
  • 1 000 000
  • и так далее…
Запомните! !

Областью определения функции называют множество чисел, которые можно подставить вместо « x ».

В нашей функции «у = 2x» вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.

у = 2x
D(y): x
— любое действительное число

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.

числовая ось для x

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x». Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x », заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности «+∞».

числовая ось для x

Запишем результат по правилам записи неравенств.

числовая ось для x
D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как «x ∈ R».

Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.

№ 233 (2) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

f(x) =
8
x + 5
Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x » в функции
« f(x) =
8
x + 5
».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) =
8
x + 5
». Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

x + 5 ≠ 0

Решим полученное линейное уравнение.

x + 5 ≠ 0

x ≠ −5

Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».

Число «−5» отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

числовая ось для x

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

числовая ось для x

Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».

числовая ось для x
x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =
8
x + 5
».

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

№ 98 (5) Колягин (Алимов) 8 класс

Найти область определения функции:

y = 6 − x

Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = 6 − x». Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.

6 − x ≥ 0

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

6 − x ≥ 0

−x ≥ −6 | ·(−1)

x 6

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

числовая ось для x
x ∈ (−∞ ; 6]

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = 6 − x» . Так как число «6» входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять квадратная скобка.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; 6]

Правило для определения области определения функции

Запомните! !

Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:

  1. на ноль делить нельзя (другими словами, знаменатели дробей с « x » не должны быть равны нулю);
  2. подкоренные выражения корней чётной степени должны быть больше или равны нулю.

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

  1. есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
  2. есть ли корни четной
    степени с « x »?

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

№ 242 (3) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

f(x) = x + 3 +
1
x 2 − 9

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции « f(x) = x + 3 +
1
x 2 − 9
» есть дробь «
1
x 2 − 9
», где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель « x 2 − 9 » не может быть равен нулю.

x2 − 9 ≠ 0

Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a



x2 − 9 ≠ 0

x1;2 =
−0 ± √02 − 4 · 1 · (−9)
2 · 1


x1;2
−0 ± √0 − (−36)
2


x1;2
± √36
2


x1;2
± 6
2


x1;2 ≠ ±3

x1 ≠ 3 x2 ≠ −3
Запомним полученный результат. Задаем себе второй вопрос. Проверяем, есть ли в формуле функции
« f(x) = x + 3 +
1
x 2 − 9
» корень четной степени. В формуле есть квадратный корень « x + 3 ». Подкоренное выражение «x + 3» должно быть больше или равно нулю.

x + 3 ≥ 0

Решим линейное неравенство.

x + 3 ≥ 0
x ≥ −3
числовая ось для x

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

  • знаменатель дроби «
    1
    x 2 − 9
    » не равен нулю ;
  • подкоренное выражение « x + 3 » должно быть больше или равно нулю.
  • x ≠ −3
    x ≠ 3
    x ≥ −3

Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

x ≠ −3
x ≠ 3
x ≥ −3
сравнение ограничений для поиска области определения

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

поиск общих промежутков Получаем два числовых
промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = x + 3 +
1
x 2 − 9
». Запишем окончательный ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)

Примеры определения области определения функции

№ 101 Колягин (Алимов) 8 класс

Найти область определения функции:

y = 6x + 51 + x

Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции
«y = 6x + 51 + x» нет дробей.

Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени: «6x». Степень корня — число «6». Число «6» — чётное, поэтому подкоренное выражение корня «6x» должно быть больше или равно нулю.

x ≥ 0

В формуле функции «y = 6x + 51 + x» также есть корень пятой степени
«51 + x ». Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение «1 + x» не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции
«y = 6x + 51 + x» — это ограничение подкоренного выражения «6x».

x ≥ 0

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

поиск общих промежутков

Ответ:

D(y): x ∈ [0 ; +∞)

№ 242 (4) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

f(x) =
x − 4
x + 2
+
4x − 3
x2 − 7x + 6

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

f(x) =
x − 4
x + 2
+
4x − 3
x2 − 7x + 6

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

x + 2 ≠ 0
x2 − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами «1» и «2» и решим каждое уравнение отдельно.

x + 2 ≠ 0            (1)
x2 − 7x + 6 ≠ 0     (2)

Решаем первое уравнение.

x + 2 ≠ 0     (1)

Если значение квадратного корня
«x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю, значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0» также не должно быть равно нулю.

x + 2 ≠ 0     (1)
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2

Теперь решим уравнение под номером «2», используя формулу квадратного уравнения.

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a



x2 − 7x + 6 ≠ 0     (2)

x1;2 =
−(−7) ± √(−7)2 − 4 · 1 · 6
2 · 1


x1;2 =
7 ± √49 − 24
2


x1;2 =
7 ± √25
2


x1;2 =
7 ± 5
2
x1
7 + 5
2
x2
7 − 5
2
x1
12
2
x2
2
2
x1 ≠ 6 x2 ≠ 1

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

x ≠ −2
x ≠ 1
x ≠ 6

Знаменатели с « x » мы проверили. Настала очередь проверить формулу функции на наличие корней четной степени .

В формуле функции
«f(x) =
x − 4
x + 2
+
4x − 3
x2 − 7x + 6
»

есть два корня «x − 4» и «x + 2». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.
x − 4 ≥ 0
x + 2 ≥ 0

Решим полученную систему неравенств.

x − 4 ≥ 0
x + 2 ≥ 0
x ≥ 4
x ≥ −2

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

решение системы неравенств

Выпишем результат решения системы неравенств.

x ≥ 4

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:

  1. проверка, что знаменатели
    дробей с « x » не равны нулю;
  2. проверка, что подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.
Условие проверки Результат

Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю

x ≠ −2
x ≠ 1
x ≠ 6

Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю

x ≥ 4

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.

пример поиска области определения функции Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =
x − 4
x + 2
+
4x − 3
x2 − 7x + 6
»
с использованием математических символов.

Ответ:

D(y): x ∈ [4 ; 6) ∪ (6; +∞)