На главную страницу

Войти при помощи

Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Арифметическая прогрессия
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс


Область определения функции
Поддержать сайт

Прежде чем перейти к изучению области определения функции
внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».
Вспомним кратко основные определения функции в математике.
Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».
Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:
- « x » называют независимым аргументом функции;
- « y » зависимой переменной или значением функции.
Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения
и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».
Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.
x | y = 2x | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
x = −2 | у = 2 · (−2) = −4 | ||||||
x = 0 | y = 2 · 0 = 0 | ||||||
x =
|
y = 2 ·
|
||||||
x = 3 | y = 2 · 3 = 6 |

Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).
Обозначают область определения функции как:
Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.
Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».
x | y = 2x | ||
---|---|---|---|
−2 | −4 | ||
0 | 0 | ||
|
1 | ||
3 | 6 |
Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.
Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:
- −2
- 0
- 10
- 30,5
- 1 000 000
- и так далее…

Областью определения функции называют множество чисел, которые можно подставить вместо « x ».
В нашей функции «у = 2x» вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.
Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.
D(y): x — любое действительное число
Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x».
Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x »,
заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности
«+∞».

Запишем результат по правилам записи неравенств.

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Запишем окончательный ответ для области определения функции.
Ответ:
По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как
«x ∈ R».
Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.
Область определения функции с дробью
Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.
Разбор примера
Найдите область определения функции:
8 |
x + 5 |
« f(x) =
8 |
x + 5 |
По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.
Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) =8 |
x + 5 |
Решим полученное линейное уравнение.
x ≠ −5
Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».
Число «−5» отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.
Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =
8 |
x + 5 |
Ответ:
Область определения функции с корнем
Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.
Разбор примера
Найти область определения функции:
Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.
Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = √6 − x».
Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.
Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».
−x ≥ −6 | ·(−1)
x ≤ 6
Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = √6 − x» .
Так как число «6» входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
квадратная скобка.
Ответ:
Правило для определения области определения функции

Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:
- на ноль делить нельзя (другими словами, знаменатели дробей с « x » не должны быть равны нулю);
- подкоренные выражения корней чётной степени должны быть больше или равны нулю.
При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:
- есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
- есть ли корни четной
степени с « x »?
Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.
Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.
Разбор примера
Найдите область определения функции:
1 |
x 2 − 9 |
Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.
В функции « f(x) = √x + 3 +1 |
x 2 − 9 |
1 |
x 2 − 9 |
x2 − 9 ≠ 0
Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.
−b ± √b2 − 4ac |
2a |
x2 − 9 ≠ 0
x1;2 =
−0 ± √02 − 4 · 1 · (−9) |
2 · 1 |
x1;2 ≠
−0 ± √0 − (−36) |
2 |
x1;2 ≠
± √36 |
2 |
x1;2 ≠
± 6 |
2 |
x1;2 ≠ ±3
x1 ≠ 3 | x2 ≠ −3 |
« f(x) = √x + 3 +
1 |
x 2 − 9 |
Решим линейное неравенство.
x ≥ −3

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:
- знаменатель дроби
«
1 x 2 − 9 - подкоренное выражение « √x + 3 » должно быть больше или равно нулю.
x ≠ −3 x ≠ 3 |
|
x ≥ −3 |
Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.
x ≠ −3 x ≠ 3 |
|
x ≥ −3 |

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = √x + 3 +
1 |
x 2 − 9 |
Ответ:
Примеры определения области определения функции
Разбор примера
Найти область определения функции:
Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?
Ответ: в формуле функции
«y = 6√x +
5√1 + x»
нет дробей.
Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?
Ответ: в функции есть корень шестой степени: «6√x». Степень корня — число «6». Число «6» — чётное, поэтому подкоренное выражение корня «6√x» должно быть больше или равно нулю.
В формуле функции «y = 6√x +
5√1 + x»
также есть корень пятой степени
«5√1 + x
».
Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение
«1 + x»
не накладывается.
Получается, что единственное ограничение области определения функции
«y = 6√x +
5√1 + x»
— это ограничение подкоренного выражения
«6√x».
Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

Ответ:
Разбор примера
Найдите область определения функции:
√x − 4 |
√x + 2 |
4x − 3 |
x2 − 7x + 6 |
Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.
√x − 4 |
√x + 2 |
4x − 3 |
x2 − 7x + 6 |
Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.
√x + 2 ≠ 0 | |
x2 − 7x + 6 ≠ 0 |
Обозначим их номерами «1» и «2» и решим каждое уравнение отдельно.
√x + 2 ≠ 0 (1) | |
x2 − 7x + 6 ≠ 0 (2) |
Решаем первое уравнение.
Если значение квадратного корня
«√x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю,
значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0»
также не должно быть равно нулю.
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
Теперь решим уравнение под номером «2», используя формулу квадратного уравнения.
−b ± √b2 − 4ac |
2a |
x2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)
x1;2 =
−(−7) ± √(−7)2 − 4 · 1 · 6 |
2 · 1 |
x1;2 =
7 ± √49 − 24 |
2 |
x1;2 =
7 ± √25 |
2 |
x1;2 =
7 ± 5 |
2 |
x1 ≠
|
x2 ≠
|
x1 ≠
|
x2 ≠
|
x1 ≠ 6 | x2 ≠ 1 |
Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.
x ≠ −2 | |
x ≠ 1 | |
x ≠ 6 |
Знаменатели с « x » мы проверили. Настала очередь проверить формулу функции на наличие корней четной степени .
В формуле функции«f(x) =
√x − 4 |
√x + 2 |
4x − 3 |
x2 − 7x + 6 |
есть два корня «√x − 4» и «√x + 2». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.
x − 4 ≥ 0 | |
x + 2 ≥ 0 |
Решим полученную систему неравенств.
x − 4 ≥ 0 | |
x + 2 ≥ 0 |
x ≥ 4 | |
x ≥ −2 |
Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.
Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:
- проверка, что знаменатели
дробей с « x » не равны нулю; - проверка, что подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.
Условие проверки | Результат | ||||
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю |
|
||||
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю |
x ≥ 4 |
Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.

«f(x) =
√x − 4 |
√x + 2 |
4x − 3 |
x2 − 7x + 6 |
с использованием математических символов.
Ответ:
Ваши комментарии
Оставить комментарий:
Я не могу понять за какое число воспринимать p1, p2

2 |
x+1 |

Ответ для Влад Алексеев
x+1?0
x?-1
Графиком является гипербола, смещеная влево относительно оси Y.

Ответ для Катерина Яроцкая
