Карандаш и циркуль хищник надпись на парте sin 30 вот так вота Уолтер Вайт

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Гений — это 1% вдохновения и 99% пота.Томас Эдисон
На главную страницу На главную страницу на главную

Область определения функции

лупа Скрепки
Поддержать сайтспасибо
Важно! Галка

Прежде чем перейти к изучению области определения функции внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

у = 2x
  • « x » называют независимым аргументом функции;
  • « y » зависимой переменной или значением функции.

Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».

Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.

x y = 2x
x = −2 у = 2 · (−2) = −4
x = 0 y = 2 · 0 = 0
x =
1
2
y = 2 ·
1
2
=
2 · 1
2
= 1
x = 3 y = 2 · 3 = 6
Запомните! !

Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).

Обозначают область определения функции как:

D(y)

Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».

x y = 2x
−2 −4
0 0
1
2
1
3 6

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.

Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:

  • −2
  • 0
  • 10
  • 30,5
  • 1 000 000
  • и так далее…
Запомните! !

Областью определения функции называют множество чисел, которые можно подставить вместо « x ».

В нашей функции «у = 2x» вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.

у = 2x
D(y): x
— любое действительное число

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.

числовая ось для x

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x». Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x », заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности «+∞».

числовая ось для x

Запишем результат по правилам записи неравенств.

числовая ось для x
D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как «x ∈ R».

Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.

№ 233 (2) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

f(x) =
8
x + 5
Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x » в функции
« f(x) =
8
x + 5
».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) =
8
x + 5
». Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

x + 5 ≠ 0

Решим полученное линейное уравнение.

x + 5 ≠ 0

x ≠ −5

Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».

Число «−5» отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

числовая ось для x

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

числовая ось для x

Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».

числовая ось для x
x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =
8
x + 5
».

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

№ 98 (5) Колягин (Алимов) 8 класс

Найти область определения функции:

y = 6 − x

Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = 6 − x». Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.

6 − x ≥ 0

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

6 − x ≥ 0

−x ≥ −6 | ·(−1)

x 6

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

числовая ось для x
x ∈ (−∞ ; 6]

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = 6 − x» . Так как число «6» входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять квадратная скобка.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; 6]

Правило для определения области определения функции

Запомните! !

Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:

  1. на ноль делить нельзя (другими словами, знаменатели дробей с « x » не должны быть равны нулю);
  2. подкоренные выражения корней чётной степени должны быть больше или равны нулю.

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

  1. есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
  2. есть ли корни четной
    степени с « x »?

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

№ 242 (3) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

f(x) = x + 3 +
1
x 2 − 9

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции « f(x) = x + 3 +
1
x 2 − 9
» есть дробь «
1
x 2 − 9
», где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель « x 2 − 9 » не может быть равен нулю.

x2 − 9 ≠ 0

Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a



x2 − 9 ≠ 0

x1;2 =
−0 ± √02 − 4 · 1 · (−9)
2 · 1


x1;2
−0 ± √0 − (−36)
2


x1;2
± √36
2


x1;2
± 6
2


x1;2 ≠ ±3

x1 ≠ 3 x2 ≠ −3
Запомним полученный результат. Задаем себе второй вопрос. Проверяем, есть ли в формуле функции
« f(x) = x + 3 +
1
x 2 − 9
» корень четной степени. В формуле есть квадратный корень « x + 3 ». Подкоренное выражение «x + 3» должно быть больше или равно нулю.

x + 3 ≥ 0

Решим линейное неравенство.

x + 3 ≥ 0
x ≥ −3
числовая ось для x

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

  • знаменатель дроби «
    1
    x 2 − 9
    » не равен нулю ;
  • подкоренное выражение « x + 3 » должно быть больше или равно нулю.
  • x ≠ −3
    x ≠ 3
    x ≥ −3

Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

x ≠ −3
x ≠ 3
x ≥ −3
сравнение ограничений для поиска области определения

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

поиск общих промежутков Получаем два числовых
промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = x + 3 +
1
x 2 − 9
». Запишем окончательный ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)

Примеры определения области определения функции

№ 101 Колягин (Алимов) 8 класс

Найти область определения функции:

y = 6x + 51 + x

Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции
«y = 6x + 51 + x» нет дробей.

Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени: «6x». Степень корня — число «6». Число «6» — чётное, поэтому подкоренное выражение корня «6x» должно быть больше или равно нулю.

x ≥ 0

В формуле функции «y = 6x + 51 + x» также есть корень пятой степени
«51 + x ». Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение «1 + x» не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции
«y = 6x + 51 + x» — это ограничение подкоренного выражения «6x».

x ≥ 0

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

поиск общих промежутков

Ответ:

D(y): x ∈ [0 ; +∞)

№ 242 (4) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

f(x) =
x − 4
x + 2
+
4x − 3
x2 − 7x + 6

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

f(x) =
x − 4
x + 2
+
4x − 3
x2 − 7x + 6

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

x + 2 ≠ 0
x2 − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами «1» и «2» и решим каждое уравнение отдельно.

x + 2 ≠ 0            (1)
x2 − 7x + 6 ≠ 0     (2)

Решаем первое уравнение.

x + 2 ≠ 0     (1)

Если значение квадратного корня
«x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю, значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0» также не должно быть равно нулю.

x + 2 ≠ 0     (1)
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2

Теперь решим уравнение под номером «2», используя формулу квадратного уравнения.

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a



x2 − 7x + 6 ≠ 0     (2)

x1;2 =
−(−7) ± √(−7)2 − 4 · 1 · 6
2 · 1


x1;2 =
7 ± √49 − 24
2


x1;2 =
7 ± √25
2


x1;2 =
7 ± 5
2
x1
7 + 5
2
x2
7 − 5
2
x1
12
2
x2
2
2
x1 ≠ 6 x2 ≠ 1

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

x ≠ −2
x ≠ 1
x ≠ 6

Знаменатели с « x » мы проверили. Настала очередь проверить формулу функции на наличие корней четной степени .

В формуле функции
«f(x) =
x − 4
x + 2
+
4x − 3
x2 − 7x + 6
»

есть два корня «x − 4» и «x + 2». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.
x − 4 ≥ 0
x + 2 ≥ 0

Решим полученную систему неравенств.

x − 4 ≥ 0
x + 2 ≥ 0
x ≥ 4
x ≥ −2

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

решение системы неравенств

Выпишем результат решения системы неравенств.

x ≥ 4

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:

  1. проверка, что знаменатели
    дробей с « x » не равны нулю;
  2. проверка, что подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.
Условие проверки Результат

Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю

x ≠ −2
x ≠ 1
x ≠ 6

Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю

x ≥ 4

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.

пример поиска области определения функции Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =
x − 4
x + 2
+
4x − 3
x2 − 7x + 6
»
с использованием математических символов.

Ответ:

D(y): x ∈ [4 ; 6) ∪ (6; +∞)