Скрыть меню

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Иррациональные числа

Алгебра 11 класс

Факториал

Учитесь у всех, не подражайте никому. Максим Горький

на главную

Как вынести из-под корня

Поддержать сайт

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня

Важно!

Вынесение множителя из-под знака корня — это извлечение корня из одного из множителей (числа или буквы), которые находятся под корнем.

√25 · 3 = 5√3

Говорят: «Число «25» вынесли из-под знака корня».

Рассмотрим подробнее пример вынесения множителя из-под знака корня.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√16 · 5;

Используем свойство квадратного корня из произведения.

√a · b = √a · √b

√16 · 5 = √16 · √5 = …

Извлечь квадратный корень из «√5» целым числом не получится, поэтому нам остается только извлечь квадратный корень из «√16».

Важно!

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от «1» до «15» и таблицу часто используемых квадратных корней.

Вспомним, чему равен квадрат числа четыре?

4² = 16

Значит:

√16 = 4

Решение примера выше записываем следующим образом.

√16 · 5 = √16 · √5 = 4 · √5

Действие выше называют вынесением множителя из-под знака корня. Говорят: «Число «16» вынесли из-под знака корня, получив число «4».

Запомните!

Выносить из-под знака корня можно, только если все действия под знаком корня — умножение.

Примеры правильного и неправильного вынесения из-под знака корня:

√144 · 2 = √144 · √2 = 12√2 (верно). Под знаком квадратного корня только действие умножения;
√16 + 5 ≠ 4 + √5 (неверно). Нельзя выносить «16» из-под знака корня, так как под знаком корня сложение;
√25 − 3 ≠ 5 − √3 (неверно). Нельзя выносить из-под знака корня «25», так как под знаком корня вычитание;
√16 ·2 + 3 ≠ 4√2 + 3 (неверно). Нельзя выносить «16» из-под знака корня, так как под знаком корня есть сложение (должно быть только умножение).

Как вынести множитель из корня с одним числом

Рассмотрим пример, когда под корнем только одно число и по условию задания требуется вынести множитель из-под знака корня.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√8;

Извлечь целое число из квадратного корня «√8» нельзя, так как нет такого целого числа, которое в квадрате давало бы «8».

Важно!

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от «1» до «15» и таблицу часто используемых квадратных корней.

Подумаем, на какие множители можно разложить число «8», чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака корня. Вспоминаем таблицу умножения.

Число «8» — это произведение
«8 = 4 · 2». Теперь можем вынести «4» из-под знака корня.

√8 = √4 · 2 = √4 · √2= 2√2

Разберем другие примеры вынесения множителя из-под знака квадратного корня

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√54;

Зададим себе вопрос: «На какие множители нужно разложить «54», чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака квадратного корня?».

Вспоминаем таблицу умножения.

54 = 9 · 6

Видим число «9». Подходит, так как «√9 = 3».

√54 = √9 · 6 = …

Завершим решение примера вынесением из-под знака корня числа «9».

√54 = √9 · 6 = 3√6

Извлечь «√6» целым числом невозможно. Поэтому ответ оставляем в таком виде.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√490;

В примерах с числами, которые делятся на «10, 100, 1000…» и так далее, стоит сразу попробовать разложить число на «10, 100, 1000…» и второй множитель.

То есть число «490» можно разложить на «490 = 49 · 10». Из «49» можно извлечь квадратный корень.

√490 = √49 · 10 = …

Теперь можно вынести «49» из-под знака корня.

√490 = √49 · 10 = 7√10

Разбор примера

√500 = √5 · 100 = 10 √5

Разбор примера

√108 = √54 · 2 = √9 · 6 · 2 =

= 3√6 · 2 = 3√12 = 3√4 · 3 =

= 3 · 2√3 = 6√3

Разбор примера

0,4 · √250 = 0,4 · √25 · 10 =

= 0,4 · 5 √10 = …

Завершим пример, умножив десятичную дробь «0,4» на «5» по правилу умножения десятичной дроби на число.

0,4 · √250 = 0,4 · √25 · 10 =

= 0,4 · 5 √10 = 2√10

Разбор примера

· √63 =

· √9 · 7 =

· 3 √7 = …

Умножим дробь «

» на число «3», которое вынесли из-под знака квадратного корня. Используем правило умножения обыкновенной дроби на число.

· √63 =

· √9 · 7 =

· 3 √7 =

=

4 · 3

· √7 =

4 · 3

9₃

· √7 =

=

· √7 = …

Чтобы дать окончательный ответ, выделим целую часть неправильной дроби «

».

· √63 =

· √9 · 7 =

· 3 √7 =

=

4 · 3

· √7 =

4 · 3

9₃

· √7 =

· √7 =

= 1

· √7

Как вынести десятичную дробь из-под знака корня

В уроке «Как извлечь квадратный корень из дроби» мы разбирали, каким образом извлечь квадратный корень из десятичной дроби. Например, извлечение квадратного корня из десятичной дроби «√0,25».

√0,25 = 0,5 , так как
0,5² = 0,5 · 0,5 = 0,25

Тот же самый метод используется при вынесении десятичной дроби из-под знака корня.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√0,48;

Разложим десятичную дробь на произведение множителей, чтобы потом была возможность вынести один из множителей из-под знака корня.

Подберем десятичную дробь, на которую делится «0,48», из которой потом можно извлечь квадратный корень.

Например, «0,16». Десятичная дробь «0,48» делится на «0,16» нацело.

0,48 : 0,16 = 3

Извлечь квадратный корень из «√0,16» по правилу нахождения квадратного корня из десятичной дроби.

√0,16 = 0,4 , так как
0,4² = 0,4 · 0,4 = 0,16

Завершим пример вынесением «0,16» из-под знака корня.

√0,48 = √0,16 · 3 = 0,4 √3

Примеры вынесения десятичной дроби из-под знака квадратного корня

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√0,72 = √0,36 · 2 = 0,6 √2

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

−2 · √0,18 = −2 · √0,09 · 2 =

= −2 · 0,3 √2 = −0,6 √2

Как вынести букву из-под знака корня

Запомните!

При вынесении из-под знака квадратного корня множителя в степени (буквы или числа) степень делится на «2».

√a² = a^{2
2} = a¹ = a , гдe a ≥ 0
√y⁴ = y^{4
2} = y² , гдe y ≥ 0
√12⁴ = 12^{4
2} = 12² = 144
√x⁶ = x^{6
2} = x³ , гдe x ≥ 0

Рассмотрим примеры вынесения буквы в степени из-под корня.

Разбор примера

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

2) √2x² = x^{2
2}√2 = x√2

4) √3a⁶ = a^{6
2}√3 = a³√3

В более сложных примерах требуется вынести и числовой множитель, и букву в степени из-под корня.

Разбор примера

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

√75a²;

Вначале отдельно вынесем буквенный множитель из-под корня.

√75a² = a^{2
2} · √75 = a√75 = …

Теперь разложим число «75» на множители, один из которых можно вынести из-под знака квадратного корня.

Число «75» явно делится на «5». Проверим, можно ли число «75» разложить на квадрат числа «5² = 25».

75 : 25 = 3

Завершим пример, вынеся число «25» из-под знака корня.

√75a² = a^{2
2} · √75 = a√75 =

= a√25 · 3 = 5a√3

Разбор примера

√y⁹;

Не всегда удается сразу вынести букву в степени из-под знака корня. В данном примере степень «9» не делится нацело на «2».

Вспомним из урока «Свойства степени» правило произведение степеней с одинаковым основанием.

a^m · aⁿ = a ^{m + n}

Свойство работает и в обратную сторону.

a ^{m + n} = a^m · aⁿ

Вернемся к нашему примеру. Разложим «y⁹» на множители со степенями так, чтобы одна из степеней нацело делилась на «2». Представим степень «9» как сумму чисел «9 = 6 + 3».

√y⁹ = √y^{6 + 3} = …

Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием в обратную сторону и разложим «у» на множители.

√y⁹ = √y^{6 + 3} = √y⁶ · y³ = …

Вынесем «y⁶» из-под знака корня.