Скрыть меню

Если вам нечего ответить своему оппоненту, не всё потеряно: вы можете сказать, что вы о нём думаете.Элберт Хаббард

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

По аналогии с арифметической прогрессией существует другой тип числовой последовательности, которая называется геометрической прогрессией.

Рассмотрим числовую последовательность ниже.

Если её внимательно изучить, то мы заметим, что каждое следующее в ней число получается результатом умножения предыдущего числа на «2».

6,	12,	24,	48,	…
	· 2	· 2	· 2

Такую числовую последовательность называют геометрической прогрессией.

Чаще всего геометрическую прогрессию записывают с помощью латинской буквы «b_n», где «n» порядковый номер члена прогрессии.

Число, на которое умножают, чтобы получить следующий член прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначает буквой «q».

Например, в геометрической прогрессии ниже знаменатель «q = 2».

6,	12,	24,	48,	…
	· 2	· 2	· 2

Геометрические прогрессии, в которых каждый следующий член больше предыдущего называют возрастающей. В них знаменатель «q» всегда больше «1» (q > 1).

Бывают убывающие геометрические прогрессии. В них знаменатель «q» является дробью и расположен между нулём и единицей (0 < q < 1). В убывающих геометрических прогрессиях каждый следующий член меньше предыдущего, так как при умножении на дробь всегда получается меньшее число.

Рассмотрим пример убывающей геометрической прогрессии.

Вычислим знаменатель «q» геометрической прогрессии выше. Для этого согласно определению геометрической прогрессии запишем, что второй член «b₂» равен произведению первого члена «b₁» и знаменателя «q», в виде формулы:

Выразим из формулы выше знаменатель «q». Для удобства поменяем левую и правую часть местами и обе части равенства разделим на «b₁».

Подставим известные числовые значения вместо первого «b₁» и второго члена «b₂» прогрессии. Для определения числовых значений «b₁» и «b₂» запишем изначально заданную прогрессию через букву «b» и проставим их порядковые номера.

81,	27,	9,	3,	…
b1	b2	b3	b4	…

Сократим полученную дробь на «27».

Получим, что в заданной геометрической прогрессии «q =

1

3

».

81,	27,	9,	3,	…
	· 1 3	· 1 3	· 1 3

Как мы видим, каждый следующий член геометрической прогрессии меньше предыдущего. Это связано с тем, что знаменателем этой прогрессии является дробь «q =

1

3

». Поэтому данная геометрическая прогрессия является убывающей.

Также бывают геометрические прогрессии, которые не являются ни убывающей, ни возрастающей. В таких геометрических прогрессиях знаменатель «q» отрицательный
(q < 0).

Рассмотрим геометрическую прогрессии ниже.

Подпишем порядковые номера членов прогрессии.

− 1 4 ,	1 2 ,	−1,	2,	…
b1	b2	b3	b4	…

Разделим второй член «b₂» прогрессии на первый «b₁», чтобы найти «q» знаменатель прогрессии. По правилу деления дробей «переворачиваем» дробь справа от знака деления и умножаем на нее.

Сократим дробь на «2».

Получили, что знаменатель геометрической прогрессии «q = −2». Так как знаменатель геометрической прогрессии отрицательный, то знак каждого следующего члена прогрессии будет всегда меняться на противоположный по правилу знаков. Поэтому прогрессия не является ни убывающей, ни возрастающей.

− 1 4 ,	1 2 ,	−1,	2,	…
	· (−2)	· (−2)	· (−2)

---

Чтобы решить большинство задач с геометрической прогрессией, необходимо выучить и уметь применять две формулы ниже.

Формула «n» члена геометрической прогрессии

Обратите внимание, что в отличие от арифметической прогрессии в формуле для геометрической прогрессии порядковый номер «n» записан в степени знаменателя «q». Поэтому для решения задач нужно знать и уметь применять понятие степени.

Проверим формулу «n» члена геометрической прогрессии на примере ниже.

Запишем порядковые номера членов прогрессии.

6,	12,	24,	48,	…
b1	b2	b3	b4	…

Найдем знаменатель прогрессии «q». Для этого разделим «b₁» первый член прогрессии на второй «b₂».

Убедимся, что числовое значение третьего члена «b₃» совпадает со значением, которое мы вычислим для него через формулу «n» члена.

Подставим в формулу «n» члена первый член «b₁» и знаменатель «q». Вместо «n» подставим «3», так как мы вычисляем третий член прогрессии.

Значение «b₃ = 24», рассчитанное по формуле, совпало со значением в заданной прогрессии.

---

Вторая формула, которая требуется при решении задач на геометрическую прогрессию, это формула среднего геометрического.

На первый взгляд кажется, чтобы найти «b_n» достаточно будет извлечь квадратный корень из произведения «√b_{n − 1} · b_{n + 1}». Но в геометрических прогрессиях не всё так просто.

В отличие от арифметической прогрессии при определении среднего геометрического в зависимости от задания возможны два варианта расчёта. Рассмотрим оба варианта.

I. Среднее геометрическое, когда все члены геометрической прогрессии положительные

Для использования формулы среднего геометрического требуется извлекать квадратный корень числа. Поэтому важно вспомнить порядок нахождения квадратного корня.

Проверим формулу среднего геометрического прогрессии, в которой все члены положительные.

6,	12,	24,	48,	…
b1	b2	b3	b4

Вычислим второй член «b₂» прогрессии по формуле среднего геометрического. Подставим в формулу для «b₂» его «соседа» слева «b₁» первый член прогрессии
и «соседа» справа «b₃» третий член прогрессии.

6,	12,	24,	48,	…
b1	b2	b3	b4

Умножим «6» и «24» в столбик.

Вычислим квадратный корень из «144».

---

II. Среднее геометрическое, когда неизвестно, что все члены геометрической прогрессии положительны

Если в задании не сказано, что все члены геометрической прогрессии положительны, то при использовании формулы среднего геометрического необходимо использовать знак плюс-минус « ± ».

Рассмотрим пример подобного задания.

Найти пятый член геометрической прогрессии, если «b₄ = 9» и «b₆ = 4».

Обратим внимание, что пятый член прогрессии расположен между заданными по условию четвёртым «b₄» и шестым «b₆» членом прогрессии.

Так как для пятого «b₅» члена известен его «сосед» слева «b₄» четвертый член и «сосед» справа «b₆» шестой член, можно использовать формулу среднего геометрического прогрессии.

Важно: в задании не сказано, что все члены геометрической прогрессии положительны. Поэтому не забудем поставить знак плюс-минус « ± » перед квадратным корнем.

Подставим вместо «n = 5», так как мы ищем пятый член прогрессии и заданные числовые значения «b₄ = 9» и «b₆ = 4».

Не забудем записать в ответ оба полученных ответа: со знаком плюс « + » и со знаком минус « − ».

Ответ: b₅ = 6 или b₅ = −6

Примеры на геометрическую прогрессию

Задача

Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если
b₁ = −3 , q = −4.

---

Чтобы записать первые пять членов прогрессии, нам достаточно знать её первый член «b₁» и знаменатель «q». По условию задачи они нам известны. Вычислим второй член геометрической прогрессии: умножим первый член
«b₁ = −3» на
знаменатель «q».

−3,	?
	· (−4)

При умножении не забудем правило знаков: минус на минус даёт плюс.

−3,	12
	· (−4)

Теперь найдём третий член прогрессии. Умножим второй член на знаменатель. Снова не забудем правило знаков: плюс на минус даст минус.

−3,	12,	−48
		· (−4)

Осталось таким же образом вычислить четвёртый и пятый член прогрессии.

−3,	12,	−48,	?	?
			· (−4)	· (−4)

Умножим в столбик «−48» на «−4». По правилу знаков: минус на минус получится плюс.

−3,	12,	−48,	192	?
			· (−4)	· (−4)

Умножим «192» на «−4». По правилу знаков: плюс на минус даст минус.

−3,	12,	−48,	192,	−768
				· (−4)

Ответ:

−3,   12,  −48,   192,  −768

---

Задача

Первый член геометрической прогрессии b₁ =

1

125

, а её знаменатель q = 5.
Найдите: b₄ и b₇ .

---

Для поиска значения любого члена геометрической прогрессии можно использовать формулу «n» члена прогрессии.

Нам известен первый член
«b₁» и знаменатель «q». Найдём «b₄» четвёртый член. Порядковый номер четвёртого члена геометрической прогрессии «4». Подставим в формулу вместо «n = 4».

Подставим b₁ =

1

125

и q = 5 в формулу выше.

Выполним возведение «5» в третью степень.

Умножим «

1

125

» и «125» по правилу умножения числа на дробь.

Вычислим седьмой член «b₇» прогрессии. Запишем для него формулой «n» члена, где вместо «n» подставим семь.

Подставим числа вместо
«b₁ =

1

125

» и «q = 5».

Для удобства вычислений по свойству степени
представим
«5 ⁶ = 5 ^{3 + 3} = 5 ³ · 5 ³».

Возведём в третью степень
каждое
«5 ³».

Запишем полученные результаты в ответ.

Ответ: b₄ = 1 ; b₇ = 125

---

Задача

Найти номер подчёркнутого члена геометрической прогрессии:

---

Большинство задач на геометрическую прогрессию решается с помощью одной из двух формул: формулы «n» члена прогрессии или среднего геометрического.

Для начала выпишем всё что известно о заданной прогрессии. Подпишем под членами прогрессии их порядковые номера для удобства.

625,	125,	25,	5,	…,	1 25 ,	…
b1	b2	b3	b4	…	bn	…

Итак, нам известен «b₁ = 625» первый и «b₂ = 125» второй член геометрической прогрессии.

Зная первый и второй член прогрессии, можно найти её знаменатель «q». По определению геометрической прогрессии мы знаем, что каждый следующий член прогрессии равен произведению знаменателя и предыдущего члена.

Для удобства поменяем левую и правую часть равенства.

Сократим дробь на «125».

Теперь нам известен
первый член «b₁ = 625» и знаменатель прогрессии «q =

1

5

». Нам также по условию задачи известно числовое значение «

1

25

» подчёркнутого члена прогрессии. Но мы не знаем его номер. Подставим все известные значения в
формулу «n» члена геометрической прогрессии.

Для удобства поменяем местами левую и правую часть.

Разделим левую и правую часть на «625».

Рассмотрим отдельно знаменатель дроби «

1

25 · 625

» правой части. Наша задача привести данный знаменатель к «5» по аналогии со знаменателем
дроби «(

1

5

) ^{n − 1}» в левой части.

Разложим «625» на множители «25» и «25».

Число «25» — это «5 ²». Запишем каждое «25» как «5 ²».

По свойству степеней с одинаковым основанием «5 ² · 5 ² · 5 ² = 5 ^{2 + 2 + 2}».

Запишем полученный результат в исходную формулу.

Единица в любой степени всегда единица, поэтому можно вынести степень «6» за общую скобку для всей дроби правой части.

Мы получили, что основание левой части «(

1

5

) ^{n − 1}» такое же как в правой
«(

1

5

) ⁶». Если основания равны, значит степени тоже равны и, приравняв степени, мы сможем вычислить «n». Ответ: номер подчеркнутого члена «

1

25

» геометрической прогрессии «n = 7».

---

Задача

Последовательность (b_n) является геометрической прогрессией. Найдите b₁₇ , если b₁₆ = 2 , b₁₈ = 10.

---

Если записать известные по условию члены геометрической прогрессии по порядку, то видно, что искомый «b₁₇» семнадцатый член прогрессии находится посередине между «b₁₆» и «b₁₈».

Так как для «b₁₇» семнадцатого члена нам известен его «сосед» слева шестнадцатый член «b₁₆» и восемнадцатый член «b₁₈» («сосед» справа) можно использовать формулу среднего геометрического в геометрической прогрессии.

Важно: в условии задания не сказано, что все члены геометрической прогрессии положительные. Поэтому мы должны обязательно поставить знак плюс-минус « ± » в формулу среднего геометрического.

Подставим вместо «n = 17», так как мы ищем семнадцатый член прогрессии.

Подставим вместо «b₁₆ = 2» и
«b₁₈ = 10».

Разложим «20» на произведение «4» и «5». Вынесем «4» из-под знака квадратного корня.

Используем свойство квадратного корня из произведения.

Запишем оба полученных значения с разными знаками в ответ.

Ответ: b₁₇ = 2√5 или b₁₇ = −2√5

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Отправить

---