Скрыть меню

Математика — наука великая, замечательный продукт одной из благороднейших способностей человеческого разума. Д.И. Писарев

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

В задачах по физике часто приходится работать с очень большими и очень малыми величинами.

Как вести вычисления в атомной физике? Или записать радиус электрона? Если потребуется сравнить массу электрона и массу планеты Земля, как произвести вычисления с числами, которые несопоставимы друг с другом в обычном виде?

Физики и математики, столкнувшись с такими задачами, поняли, что для решения подобных задач требуется привести числа к единому стандартному виду. Так появилось понятие стандартный вид числа.

---

Прежде чем переходить к объяснению, как записать число в стандартном виде, нужно вспомнить определение степени. Особенно хорошо нужно помнить, чему равняется число «10» в различных степенях.

• 10⁻² =

  1

  102

  =

  1

  100

  = 0,01 (более подробно об отрицательной степени можно прочитать в уроке 9 класса «Отрицательная степень»)
• 10⁻¹ =

  1

  101

  =

  1

  10

  = 0,1
• 10⁰ = 1
• 10¹ = 10
• 10² = 100
• 10³ = 1000
• …

Вспомним, что при умножении целого числа на 10, 100, 1000 и т.д. мы просто добавляли тоже количество нулей, что и в 10, 100, 1000 и т.д..

• 5 · 10 = 50
• 27 · 100 = 2 700
• 18 · 1000 = 18 000

Теперь запишем тоже самое, используя определение степени.

• 5 · 10 = 5 · 10¹ = 50
• 27 · 100 = 27 · 10² = 2 700
• 18 · 1000 = 18 · 10³ = 18 000

При делении целого числа на 10, 100, 1000 и т.д. мы убирали нули.

• 13 000 : 100 =

  13 000

  100

  = 130
• 50 : 10 =

  50

  10

  = 5

Для десятичных дробей действует схожее правило умножения на 10, 100, 1000. При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. мы перемещаем запятую вправо на количество нулей, что и в 10, 100, 1000 и т.д...

• 5,7 · 100 = 570
• 7,013 · 10 = 70,13
• 68,3 · 1000 = 68 300

С помощью степени можно записать вычисления выше следующим образом:

• 5,7 · 100 = 5,7 · 10² = 570
• 7,013 · 10 = 7,013 · 10¹ = 70,13
• 68,3 · 1000 = 68,3 · 10³ = 68 300

При делении на 10, 100, 1000 и т.д. перемещаем запятую влево.

• 6,7 : 10 =

  6,7

  10

  = 0,67
• 0,15 : 100 =

  0,15

  100

  = 0,0015

С помощью определения отрицательной степени можно записать вычисления выше следующим образом:

• 6,7 : 10 =

  6,7

  10

  = 6,7 · 10⁻¹ = 0,67
• 0,15 : 100 =

  0,15

  100

  = 0,15 · 10⁻² = 0,0015

Стандартный вид числа

Вначале обратимся к строгому математическому определению стандартного вида числа. Затем по традиции разберемся на примерах.

Из определения выше важно понять, что степень, в которой стоит «10», в стандартном виде числа называется порядком.

Теперь к примеру. Пусть нам дано число «5 600» и требуется записать его в стандартном виде.

По определению стандартного вида числа необходимо, чтобы перед запятой стояла только одна цифра от «1» до «9».

В числе «5 600» первая цифра справа — «5». Поставим справа от нее запятую и посчитаем, сколько знаков у нас осталось справа от запятой.

Значит, чтобы из «5,600» получить «5600» нам нужно умножить «5,600» на «1000». Запишем полученное преобразование.

Теперь запишем «1000» с использованием степени.

Завершающим штрихом будет отбрасывание незначащих нулей в десятичной дроби.

Таким образом «5 600» в стандартном виде будет выглядеть следующим образом:

Чтобы проверить, что мы не ошиблись в вычислениях, произведем вычисления обратно. Если все выполнено корректно, мы должны получить изначальное число. Убедимся в этом.

---

Рассмотрим другой пример, когда нужно представить десятичную дробь в стандартном виде. Например, десятичную дробь «0,017».

Согласно определению стандартного вида числа необходимо, чтобы первой цифрой перед запятой стояла только одна цифра от «1» до «9».

В десятичной дроби «0,017» вначале идет «0». Нам это не подходит, поэтому двигаемся слева направо, чтобы найти первую цифру отличную от «0».

Это цифра «1». Посчитаем сколько знаков (цифр) стояло от запятой до цифры «1», включая саму цифру «1».

Получается два знака. Начнем записывать «0,017» в стандартном виде. Перенесем запятую и поставим ее справа от «1».

Ответим себе на вопрос: "На что нужно умножить или разделить «1,7», чтобы получить изначальное число «0,017» ?". Напоминаем, что при делении на 10, 100, 1000 и т.д. запятая переносится Напоминаем, что при делении на 10, 100, 1000 и т.д. запятая переносится влево.

Выходит, чтобы из «1,7» сделать 0,017», нужно «1,7 разделить на «100» (чтобы перенести запятую на два знака влево).

Запишем это деление на «100», используя обыкновенную дробь.

С помощью отрицательной степени запишем окончательный вид числа «0,017» в стандартном виде.

Примеры решения задач
на запись числа в стандартном виде

Разбор примера

Определить порядок числа, выражающего значение физической константы:

1) масса покоя электрона
m_e = 9,1093897 · 10⁻³¹

---

Напоминаем, что порядком числа, которое приведено в стандартный вид, называют степень, в которой стоит «10». В данном примере «10» стоит в
степени «−31». Значит, порядком массы покоя электрона является «−31».

Разбор примера

Записать в стандартном виде и определить порядок числа k, выражающего физического константу:

2) постоянная Фарадея
F = 96485,309 Кл/моль;

---

По определению стандартного вида числа необходимо, чтобы перед запятой стояла только одна цифра от «1» до «9».

Начнем записывать постоянную Фарадея в стандартном виде. Перенесем запятую после первой цифры отличной от нуля. Это цифра «9».

Зададим себе вопрос: «На что нужно умножить «9,6485309», чтобы получить «96485,309» ?» Посчитаем количество знаков (цифр), на которое требуется перенести запятую в «96485,309», чтобы получить «96485309».

Получается «4» знака. Значит постоянная Фарадея в стандартном виде будет выглядеть следующим образом:

Порядком числа «9,6485309 · 10⁴» является степень, в которой стоит «10». Следовательно, порядок «k = 4».

---

3) Постоянная Лошмидта
n₀ = 2686763 · 10 ²⁶

Начнем записывать постоянную Лошмидта в стандартном виде, т.е. как:

Рассчитаем, на какое количество знаков (цифр) требуется перенести запятую, чтобы из «2,686763» получить «2686763».

Значит, чтобы получить из «2,686763» нужно изначальное число «2686763» умножить на «10⁶».

Завершим решение и запишем окончательный ответ, используя свойство «Произведение степеней».

Другие примеры записи чисел в стандартном виде

• 0,52 = 5,2 · 10 ⁻¹
• 401 = 4,01 · 10 ²
• 60,756 = 6,0756 · 10¹
• 0,00123 = 1,23 · 10⁻³

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Отправить

---