На главную страницу
Войти при помощи
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Арифметическая прогрессия
- Возрастание и убывание функции
- Геометрическая прогрессия
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
на главную
Как избавиться от иррациональности
Поддержать сайт
Что такое иррациональность в знаменателе дроби
Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.
-
в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет;√6 2 -
в знаменателе есть5 √6
корень «√6» — иррациональность в знаменателе есть. -
в знаменателе есть корни «√7» и «√3» — иррациональность есть.4 √7 − √3 -
в знаменателе естьa + b √c − 3
корень «√c − 3» — иррациональность в знаменателе есть.
Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.
Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?
Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.
Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень
На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.
По традиции разберемся на практике.
Разбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
| 3 |
| √5 |
Зададим себе вопрос, на что нужно умножить «√5» в знаменателе, чтобы избавиться от корня.
Ответ: на «√5». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.
√5 · √5 = √5 · 5 = √52 = 5Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на «√5», чтобы избавиться от корня в знаменателе.
| 3 |
| √5 |
| 3 · √5 |
| √5 · √5 |
| 3 · √5 |
| √5 · 5 |
| 3 · √5 |
| √52 |
=
| 3 · √5 |
| 5 |
Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.
Разберемся по традиции на примере.
Разбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
| 1 |
| 2 − √3 |
На что нужно умножить знаменатель «2 − √3», чтобы убрать из него корень?
Теперь недостаточно умножить знаменатель на «√3», ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.
= 2√3 − 3
Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.
Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.
Представим, что «2 − √3» — это часть формулы.
(? + ?)(2 − √3) = ?2 − ?2
Логично предположить, что в формуле «a» — это «2», «b» — «√3». Подставим вместо знаков «?» числа.
(2 + √3)(2 − √3) = 22 − √32 = 4 − 3 = 1
То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби
требуется умножить знаменатель
«2 − √3»
на
«2 + √3»
и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.
Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на «2 + √3».
| 1 |
| 2 − √3 |
| 1 · (2 + √3) |
| (2 − √3) · (2 + √3) |
=
| 2 + √3 |
| 22 − √32 |
| 2 + √3 |
| 4 − 3 |
| 2 + √3 |
| 1 |
Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе
Разбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
2)| 2 |
| √6 |
| 2 |
| √6 |
| 2 · √6 |
| √6 · √6 |
| 2 · √6 |
| √6 · 6 |
| 2· √6 |
| √62 |
=
| 2 · √6 |
| 6 |
Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.
7)| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Умножим и числитель, и знаменатель на «(√5 − √7)», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.
| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
| (√5 − √7)(√5 − √7) |
| (√5 + √7)(√5 − √7) |
=
| (√5 − √7)2 |
| √52 − √72 |
Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».
| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
| (√5 − √7)(√5 − √7) |
| (√5 + √7)(√5 − √7) |
=
| (√5 − √7)2 |
| √52 − √72 |
=
| (√5)2 − 2 · √5 · √7 + (√7)2 |
| √52 − √72 |
=
| 5 − 2√5 · 7 + 7 |
| 5 − 7 |
| 12 − 2√35 |
| − 2 |
= −
| 12 − 2√35 |
| 2 |
Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь.
| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
| (√5 − √7)(√5 − √7) |
| (√5 + √7)(√5 − √7) |
=
| (√5 − √7)2 |
| √52 − √72 |
=
| (√5)2 − 2 · √5 · √7 + (√7)2 |
| √52 − √72 |
=
| 5 − 2√5 · 7 + 7 |
| 5 − 7 |
| 12 − 2√35 |
| − 2 |
= −
| 12 − 2√35 |
| 2 |
| 2 · (6 − √35) |
| 2 |
= −
| 2 (6 − √35) |
| 2 |
= − (6 − √35) = −6 + √35
Разбор примера
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
5)| 1 |
| √a − √b |
Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Умножим и числитель, и знаменатель на «(√a + √b)», чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.
5)| 1 |
| √a − √b |
| 1 · (√a + √b) |
| (√a − √b) · (√a + √b) |
=
| √a + √b |
| (√a)2 − (√b)2 |
| √a + √b |
| a − b |
Ваши комментарии
Оставить комментарий:
