Важно!
Внести множитель под знак квадратного корня — значит возвести множитель во вторую степень
(в «квадрат»)
и поместить его под знак корня.
При внесении множитель умножается на подкоренное выражение.
7√2 =
√72
· √2 =
√72 ·
2 =
=
√49 ·
2 =
√98
Рассмотрим на различных примерах, как вносить множитель под корень.
Разбор примера
Внесите множитель под знак корня:
3√13;
Возводим «3» во вторую степень и вносим под знак корня:
«√32».
Замена
«3 = √32»
возможна, так как извлечение квадратного корня и возведение в квадрат — это взаимно обратные друг другу действия.
3 · √13 =
√32 · √13 =
…
Используем
свойство квадратного корня из произведения.
√a · √b
=
√a · b
3√13 =
√32 · √13 =
√32 · 13 =
=
√9 · 13 =
√108
Кратко внесение множителя под знак корня записывают следующим образом:
3√13 =
√32 · 13 =
√9 · 13 =
√108
Говорят: «Множитель «3» внесли под знак корня, получив «9».
Примеры внесения множителя под знак корня
Разбор примера
Внести множитель под знак корня:
2 ·
+ · √28;
Заменим «
2» и «
»
их квадратами под знаком квадратного корня.
2 · + · √28
=
=
√22 · +
|
( )2
|
· √28 = …
Используем
свойство квадратного корня из произведения.
√a · b =
√a · √b
2 · + · √28 =
=
√22 · +
|
|
( )2
|
· √28 =
=
|
|
22 ·
|
+
|
|
( )2
· 28
|
=
=
|
|
4 ·
|
+
|
|
( )2
· 28
|
= …
Умножим «
4» на дробь
«
»
по правилу
умножения дроби на число.
2 · + · √28 =
=
√22 · +
|
|
( )2
|
· √28 =
=
|
|
22 ·
|
+
|
|
( )2
· 28
|
=
=
|
|
4 ·
|
+
|
|
( )2
· 28
|
=
=
+
|
|
( )2
· 28
|
=
=
√2
+
|
|
( )2
· 28
|
= …
Возведем в квадрат дробь «
()2»
по правилу
возведения дроби в квадрат.
2 · + · √28 =
=
√22 · +
|
|
( )2
|
· √28 =
=
|
|
22 ·
|
+
|
|
( )2
· 28
|
=
=
|
|
4 ·
|
+
|
|
( )2
· 28
|
=
=
+
|
|
( )2
· 28
|
=
=
√2
+
|
|
( )2
· 28
|
=
=
√2
+
|
|
· 28
|
=
=
√2
+
|
|
· 28
|
=
=
√2
+
=
√2
+
√7
Внесение отрицательного множителя под корень
Запомните!
При внесении отрицательного числа под знак квадратного корня
минус всегда остается перед знаком корня.
Запомните правило: «При внесении отрицательного множителя> под знак квадратного корня минус всегда
«остается за бортом!».
Разбор примера
Внесите множитель под знак корня:
−10√14;
Прежде чем вносить число «10» под знак корня, отдельно запишем знак минуса
«−»
как
умножение на «−1».
−10√14 =
(−1) · 10√14 = …
Теперь внесем только положительное число «10»
под знак корня, возведя его в квадрат. Знак минуса оставляем перед квадратным корнем.
−10√14 =
(−1) · 10√14 =
=
(−1) · √102 · 14 =
=
(−1) · √100 · 14 =
=
(−1) · √1400 = …
Обычно умножение на «(−1)» заменяют знаком минуса впереди, так как смысл от этого не меняется.
−10√14 =
(−1) · 10√14 =
=
(−1) · √102 · 14 =
=
(−1) · √100 · 14 =
=
(−1) · √1400
=
=
− √1400
Кратко решение примера записывают следующим образом:
−10√14 =
− √102 · 14 =
=
− √100 · 14 =
− √1400
Разбор примера
Внесите множитель под знак корня:
− √18p;
При внесении отрицательных дробей под знак корня, знак минуса также остается перед квадратным корнем.
− √18p =
(−1) · √18p =
=
(−1) ·
|
|
( ) 2 ·
18p
|
=
=
(−1) ·
|
|
·
18p
|
=
=
(−1) ·
|
|
·
18p
|
=
=
(−1) ·
=
=
(−1) · √2p =
− √2p
Внесение буквы под знак корня
Важно!
При внесении буквы под знак квадратного корня эта буква возводится во вторую степень.
-
p√3 =
√p2 · √3 =
√3p2
, где p ≥ 0 ;
Если буква уже находится во второй степени, то ее степень умножается на
«2» по правилу
возведения степени в степень.
-
b2√7 =
√(b2)2 ·
√7 =
=
√b2 · 2 ·
√7 =
√b4 ·
√7 =
=
√7b4
, где b ≥ 0 ;
-
x3√y =
√(x3)2 ·
√y =
=
√x3 · 2 ·
√y =
√x6 ·
√y =
=
√x6y
, где x ≥ 0, y ≥ 0 .
Разбор примера
Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):
a ·
;
Запишем букву «a» в виде ее квадрата под знаком квадратного корня
«√a2».
a ·
=
√a2· = …
По
свойству произведения квадратных корней
запишем их умножение под одним знаком корня.
a ·
=
√a2·
|
|
|
=
|
|
a2 · =
=
|
|
=
|
|
=
√a
Разбор примера
Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):
√3x5;
Возведем в квадрат всю дробь «»
и занесем ее под знак квадратного корня.
√3x5 =
|
|
( ) 2 ·
3x5
|
= …
Используем
свойство возведения степени в степень.
√3x5 =
|
|
( ) 2 ·
3x5
|
=
=
|
|
·
3x5
|
=
|
|
·
3x5
|
=
=
|
|
·
3x5
|
=
=
=
=
…
Используем
свойство частное степеней.
√3x5 =
|
|
( ) 2 ·
3x5
|
=
=
|
|
·
3x5
|
=
|
|
·
3x5
|
=
=
|
|
·
3x5
|
=
=
=
√3x5 − 4
=
√3x1
= √3x
Внесение под корень буквы с минусом
Запомните!
При внесении под знак квадратного корня буквы с минусом знак минуса
всегда остается перед знаком корня.
Запомните правило: «При внесении отрицательной буквы под знак корня минус всегда
«остается за бортом!».
Разбор примера
Внесите множитель под знак корня (всюду в этом параграфе предполагается, что переменные принимают только положительные значения):
− b√10;
Вместо знака минуса «−» перед буквой «b» запишем умножение на
«−1».
− b√10 =
(−1) · b√10 = …
Теперь внесем букву «b» под знак корня, возведя ее в квадрат.
Множитель «−1» оставим перед знаком квадратного корня.
− b√10 =
(−1) · b√10 =
=
(−1) · √b2 · 10 =
− √10b2
Разбор примера
Внесите множитель под знак квадратного корня при p > 0 и k > 0:
9p5√k;
Чтобы не путаться при внесении буквы с числом под знак квадратного корня,
удобно сначала внести числовой множитель, а затем букву.
9p5√k =
p5√92 · k =
p5√81 · k = …
После внесения числа «9» под знак корня перейдем к внесению буквы
«p5», возведя её во вторую степень.
9p5√k =
p5√92 · k =
=
p5√81 · k =
√(p5)2 · 81 · k =
=
√p5 · 2 · 81 · k =
√p10 · 81 · k = …
Запишем окончательный ответ
в стандартном виде одночлена: сначала число, затем буквы в алфавитном порядке.
9p5√k =
p5√92 · k =
=
p5√81 · k =
√(p5)2 · 81 · k =
=
√p5 · 2 · 81 · k =
√p10 · 81 · k
=
=
√81 · k · p10
Как внести множитель в скобках под корень
Запомните!
При внесении под знак квадратного корня выражения в скобках, нужно возвести во вторую степень
всё выражение в скобках.
Разбор примера
Внесите множитель под знак квадратного корня.
(2 − √5) ·
√3;
Внесем множитель
«(2 − √5)»
под знак квадратного корня, возведя всё выражение во вторую степень.
(2 − √5) ·
√3 =
|
|
(2 − √5)2 · 3
|
= …
Используем формулу сокращенного умножения
«Квадрат разности»
для
«(2 − √5) 2».
Не забудем, что под знаком корня уже был множитель «3».
(2 − √5) ·
√3 =
|
|
(2 − √5)2 · 3
|
=
=
|
|
(22 − 2 · 2 · √5 +
(√5)2 ) ·
3
|
=
=
|
|
(4 − 4√5 +
5) ·
3
|
=
=
|
|
(9 − 4√5) ·
3
|
= …
Раскроем скобки и завершим пример.
(2 − √5) ·
√3 =
|
|
(2 − √5)2 · 3
|
=
=
|
|
(22 − 2 · 2 · √5 +
(√5)2 ) ·
3
|
=
=
|
|
(4 − 4√5 +
5) ·
3
|
=
=
|
|
(9 − 4√5) ·
3
|
=
=
|
|
3 · 9 − 3 · 4√5
|
=
|
|
27 − 12√5
|
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
| | |
на главную
