Карандаш и циркуль киберпанк 2077 надпись на парте люди в черном надпись на парте панк sin 30

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Спорить гораздо легче, чем понимать.Гюстав Флобер
На главную страницу На главную страницу на главную

Как внести под знак корня

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо
Важно! Галка

Внести множитель под знак квадратного корня — значит возвести множитель во вторую степень (в «квадрат») и поместить его под знак корня.

При внесении множитель умножается на подкоренное выражение.

72 = 72 · 2 = 72 · 2 =

= 49 · 2 = 98

Рассмотрим на различных примерах, как вносить множитель под корень.

№ 527 (2) Мерзляк 8 класс

Внесите множитель под знак корня:

313;

Возводим «3» во вторую степень и вносим под знак корня: «32».

Важно! Галка

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от «1» до «15» и таблицу часто используемых квадратных корней.

Замена «3 = 32» возможна, так как извлечение квадратного корня и возведение в квадрат — это взаимно обратные друг другу действия.

3 · 13 = 32 · 13 = …

Используем свойство квадратного корня из произведения.

a · b = a · b

313 = 32 · 13 = 32 · 13 =

= 9 · 13 = 108

Кратко внесение множителя под знак корня записывают следующим образом:

313 = 32 · 13 = 9 · 13 = 108

Говорят: «Множитель «3» внесли под знак корня, получив «9».

Примеры внесения множителя под знак корня

№ 350 (3) Колягин (Алимов) 8 класс

Внести множитель под знак корня:

2 ·
символ квадратного корня
1
2
+
1
2
· 28;

Заменим «2» и «
1
2
» их квадратами под знаком квадратного корня.
2 ·
символ квадратного корня
1
2
+
1
2
· 28 =
= 22 ·
символ квадратного корня
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2
· 28 = …

Используем свойство квадратного корня из произведения.

a · b = a · b

2 ·
символ квадратного корня
1
2
+
1
2
· 28 =
= 22 ·
символ квадратного корня
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2
· 28 =
=
символ квадратного корня 22 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=

=
символ квадратного корня 4 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
= …

Умножим «4» на дробь «
1
2
» по правилу умножения дроби на число.
2 ·
символ квадратного корня
1
2
+
1
2
· 28 =
= 22 ·
символ квадратного корня
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2
· 28 =
=
символ квадратного корня 22 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=

=
символ квадратного корня 4 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=
=
символ квадратного корня
4 2 · 1
2 1
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=
= 2 +
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
= …

Возведем в квадрат дробь « (
1
2
)2
» по правилу возведения дроби в квадрат.
2 ·
символ квадратного корня
1
2
+
1
2
· 28 =
= 22 ·
символ квадратного корня
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2
· 28 =
=
символ квадратного корня 22 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=

=
символ квадратного корня 4 ·
1
2
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=
=
символ квадратного корня
4 2 · 1
2 1
+
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=
= 2 +
символ квадратного корня (
1
2
)2 · 28
=

= 2 +
символ квадратного корня
12
22
· 28
=
= 2 +
символ квадратного корня
1
4
· 28
=
= 2 +
символ квадратного корня
1 · 28 7
4 1
= 2 + 7

Внесение отрицательного множителя под корень

Запомните! !

При внесении отрицательного числа под знак квадратного корня минус всегда остается перед знаком корня.

Запомните правило: «При внесении отрицательного множителя> под знак квадратного корня минус всегда «остается за бортом!».

№ 527 (4) Мерзляк 8 класс

Внесите множитель под знак корня:

−1014;

Прежде чем вносить число «10» под знак корня, отдельно запишем знак минуса «» как умножение на «−1».

1014 = (−1) · 1014 = …

Теперь внесем только положительное число «10» под знак корня, возведя его в квадрат. Знак минуса оставляем перед квадратным корнем.

1014 = (−1) · 1014 =
= (−1) · 102 · 14 =
= (−1) · 100 · 14 =
= (−1) · 1400 = …

Обычно умножение на «(−1)» заменяют знаком минуса впереди, так как смысл от этого не меняется.

1014 = (−1) · 1014 =
= (−1) · 102 · 14 =
= (−1) · 100 · 14 =
= (−1) · 1400 =

=   1400

Кратко решение примера записывают следующим образом:

−1014 =   102 · 14 =
=   100 · 14 =   1400

№ 528 (8) Мерзляк 8 класс

Внесите множитель под знак корня:

1
3
18p;

При внесении отрицательных дробей под знак корня, знак минуса также остается перед квадратным корнем.

1
3
18p = (−1) ·
1
3
18p =
= (−1) ·
символ квадратного корня (
1
3
) 2 · 18p
=
= (−1) ·
символ квадратного корня
12
32
· 18p
=

= (−1) ·
символ квадратного корня
1
9
· 18p
=
= (−1) ·
символ квадратного корня
1 · 18  2 · p
9 1
=
= (−1) · 2p =   2p

Внесение буквы под знак корня

Важно! Галка

При внесении буквы под знак квадратного корня эта буква возводится во вторую степень.

  • p3 = p2 · 3 = 3p2
        , где p ≥ 0 ;

Если буква уже находится во второй степени, то ее степень умножается на «2» по правилу возведения степени в степень.

  • b27 = (b2)2 · 7 =

    = b2 · 2 · 7 = b4 · 7 =

    = 7b4
        , где b ≥ 0 ;

  • x3y = (x3)2 · y =

    = x3 · 2 · y = x6 · y =

    = x6y
        , где x ≥ 0, y ≥ 0 .

№ 351 (3) Колягин (Алимов) 8 класс

Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):

a ·
символ квадратного корня
1
a
;

Запишем букву «a» в виде ее квадрата под знаком квадратного корня «a2».

a ·
символ квадратного корня
1
a
= a2·
символ квадратного корня
1
a
= …

По свойству произведения квадратных корней запишем их умножение под одним знаком корня.

a ·
символ квадратного корня
1
a
= a2·
символ квадратного корня
1
a
=
символ квадратного корня a2 ·
1
a
=
=
символ квадратного корня
a2 · 1
a
=
символ квадратного корня
a2
a
= a

№ 351 (4) Колягин (Алимов) 8 класс

Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):

1
x2
3x5;

Возведем в квадрат всю дробь «
1
x2
» и занесем ее под знак квадратного корня.
1
x2
3x5 =
символ квадратного корня (
1
x2
) 2 · 3x5
= …

Используем свойство возведения степени в степень.

1
x2
3x5 =
символ квадратного корня (
1
x2
) 2 · 3x5
=
=
символ квадратного корня
12
(x 2) 2
· 3x5
=
символ квадратного корня
1
x2 · 2
· 3x5
=

=
символ квадратного корня
1
x4
· 3x5
=
символ квадратного корня
1 · 3x5
x4
=
=
символ квадратного корня
3x5
x4
= …

Используем свойство частное степеней.

1
x2
3x5 =
символ квадратного корня (
1
x2
) 2 · 3x5
=
=
символ квадратного корня
12
(x2)2
· 3x5
=
символ квадратного корня
1
x2 · 2
· 3x5
=

=
символ квадратного корня
1
x4
· 3x5
=
символ квадратного корня
1 · 3x5
x4
=

= 3x5 − 4 = 3x1 = 3x

Внесение под корень буквы с минусом

Запомните! !

При внесении под знак квадратного корня буквы с минусом знак минуса всегда остается перед знаком корня.

Запомните правило: «При внесении отрицательной буквы под знак корня минус всегда «остается за бортом!».

№ 15.20 (б) Мордкович 8 класс

Внесите множитель под знак корня (всюду в этом параграфе предполагается, что переменные принимают только положительные значения):

b10;

Вместо знака минуса «» перед буквой «b» запишем умножение на «−1».

b10 = (−1) · b10 = …

Теперь внесем букву «b» под знак корня, возведя ее в квадрат. Множитель «−1» оставим перед знаком квадратного корня.

b10 = (−1) · b10 =
= (−1) · b2 · 10 =   10b2

№ 4.140 (8) Кузнецова 8 класс

Внесите множитель под знак квадратного корня при p > 0 и k > 0:

9p5k;

Чтобы не путаться при внесении буквы с числом под знак квадратного корня, удобно сначала внести числовой множитель, а затем букву.

9p5k = p592 · k = p581 · k = …

После внесения числа «9» под знак корня перейдем к внесению буквы «p5», возведя её во вторую степень.

9p5k = p592 · k =

= p581 · k = (p5)2 · 81 · k =

= p5 · 2 · 81 · k = p10 · 81 · k = …

Запишем окончательный ответ в стандартном виде одночлена: сначала число, затем буквы в алфавитном порядке.

9p5k = p592 · k =

= p581 · k = (p5)2 · 81 · k =

= p5 · 2 · 81 · k = p10 · 81 · k =

= 81 · k · p10

Как внести множитель в скобках под корень

Запомните! !

При внесении под знак квадратного корня выражения в скобках, нужно возвести во вторую степень всё выражение в скобках.

№ 4.145 (2) Кузнецова 8 класс

Внесите множитель под знак квадратного корня.

(2 − 5) · 3;

Внесем множитель «(2 − 5)» под знак квадратного корня, возведя всё выражение во вторую степень.

(2 − 5) · 3 =
символ квадратного корня (2 − 5)2 · 3
= …

Используем формулу сокращенного умножения «Квадрат разности»
для «(2 − 5) 2».

Важно! Галка

Обязательно выучите наизусть формулы сокращённого умножения.

В старшей школе большинство заданий требует знания этих формул.

Не забудем, что под знаком корня уже был множитель «3».

(2 − 5) · 3 =
символ квадратного корня (2 − 5)2 · 3
=

=
символ квадратного корня (22 − 2 · 2 · 5 + (5)2 ) · 3
=
=
символ квадратного корня (4 − 45 + 5) · 3
=

=
символ квадратного корня (9 − 45) · 3
= …

Раскроем скобки и завершим пример.

(2 − 5) · 3 =
символ квадратного корня (2 − 5)2 · 3
=

=
символ квадратного корня (22 − 2 · 2 · 5 + (5)2 ) · 3
=
=
символ квадратного корня (4 − 45 + 5) · 3
=

=
символ квадратного корня (9 − 45) · 3
=

=
символ квадратного корня 3 · 9 − 3 · 45
=
символ квадратного корня 27 − 125