Карандаш и циркуль рокки надпись на парте umbrella надпись пикачу надпись на парте нарисованный грузовик ручкой

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню
На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков

Начальная школа
Математика 5 класс
Математика 6 класс
Алгебра 7 класс
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
Алгебра 9 класс
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
Судить о добродетели человека следует не по его порывам, а по его каждодневным делам.Блез Паскаль
На главную страницу На главную страницу на главную

Решение линейных неравенств

лупа
Введите тему
Скрепки
Поддержать сайтспасибо
Решение линейных неравенств Как записать ответ неравенства

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Символ Название Тип знака
> больше строгий знак
(число на границе не включается)
< меньше строгий знак
(число на границе не включается)
≥ больше или равно нестрогий знак
(число на границе включается)
≤ меньше или равно нестрогий знак
(число на границе включается)

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно «=» используют любой знак сравнения: «>», «<», «≤» или «≥».

Запомните! !

Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства.

x − 6 < 8

Так как в неравенстве «x − 6 < 8» неизвестное «x» стоит в первой степени, такое неравенство называют линейным.

Как решить линейное неравенство

Важно! Галка

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом «1».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Запомните! !

При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на противоположный.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

x − 6 < 8
x < 8 + 6
x < 14

Итак, мы получили ответ к неравенству «x < 14». Но что означает такой ответ?

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного «x» и отметим на ней число «14».

число 14 на числовой оси
Запомните! !

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

  • если неравенство строгое, то число отмечается как «пустая» точка. число не входит в решение неравенства Это означает, что число не входит в область решения;
  • если неравенство нестрогое, то число отмечается как «заполненная» точка. число входит в решение неравенства Это означает, что число входит в область решения.

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу «x < 14» все решения неравенства, то есть область слева от числа «14».

ответ неравенства

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство «x − 6 < 8» даст верный результат.

Возьмем, например число «12» из заштрихованной области и подставим его вместо «x» в исходное неравенство «x − 6 < 8».

подставим число в неравенство
12 − 6 < 8
         6 < 8 (верно)

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Важно! Галка

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ «x < 14» можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее «14») будет являться решением неравенства «x − 6 < 8».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

2x − 16 > 0

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

2x − 16 > 0
2x > 16

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x» стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число «2».

Запомните! !

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

  • Если неравенство умножается (делится) на положительное число, то
    знак самого неравенства остаётся прежним.
  • Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число, то
    знак самого неравенства меняется на противоположный.

Разделим «2x > 16» на «2». Так как «2» — положительное число, знак неравенства останется прежним.

          2x > 16     | (:2)
2x (:2) > 16 (:2)      
x > 8        
ответ неравенства 2x - 16 > 0 Ответ: x > 8

Рассмотрим другое неравенство.

9 − 3x ≥ 0

Используем правило переноса.

9 − 3x ≥ 0
−3x ≥ −9

Разделим неравенство на «−3». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

−3x ≥ −9
                   −3x ≥ −9      | :(−3)
−3x : (−3) ≤ −9 :(−3)
x ≤ 3
 ответ неравенства -3x ≥ -9 Ответ: x ≤ 3

Примеры решения линейных неравенств

  • 4(x − 1) ≥ 5 + x
    4x − 4 ≥ 5 + x
    4x − x ≥ 5 + 4
           3x ≥ 9       | (:3)
    3x (:3) ≥ 9 (:3)
    x ≥ 3
     ответ неравенства -3x ≥ -9 Ответ: x ≥ 3
  • x + 2 < 3(x + 2) − 4
    x + 2 < 3x + 6 − 4
    x − 3x < 6 − 4 − 2
    −2x < 6 − 6
    −2x < 0 | :(−2)
    −2x : (−2) > 0 : (−2)
    x > 0
    ответ неравенства x + 2 < 3(x + 2) − 4 Ответ: x > 0

Решение линейных неравенств Как записать ответ неравенства

Ваши комментарии

Важно! Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

Отправить
16 ноября 2021 в 16:44
Алина Кирщина (^-^) Профиль Благодарили: 0
 Сообщений: 1
(^-^) Алина Кирщина
Профиль
Благодарили: 0
 Сообщений: 1
Как правильно написать «больше 15» символом? <15 или >15?
0 Спасибоthanks Ответить
24 ноября 2021 в 12:56
Ответ для Алина Кирщина
Борис Гуров (^-^) Профиль Благодарили: 5
 Сообщений: 33
(^-^) Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 5
 Сообщений: 33
> 15   Острый конец символа «птичка» > смотрит в сторону меньшего числа

Еще можно запомнить, как что где больше вершин у символа «птички», там большее число находится. У символа > слева две вершины, а справа одна, значит слева находится большее число.
0 Спасибоthanks Ответить
29 ноября 2021 в 7:32
Ответ для Алина Кирщина
Фархад Асланов (^-^) Профиль Благодарили: 0
 Сообщений: 1
(^-^) Фархад Асланов
Профиль
Благодарили: 0
 Сообщений: 1
>15
0 Спасибоthanks Ответить
3 марта 2024 в 7:40
Ответ для Алина Кирщина
Диана Ходаковская (^-^) Профиль Благодарили: 0
 Сообщений: 1
(^-^) Диана Ходаковская
Профиль
Благодарили: 0
 Сообщений: 1
>15
0 Спасибоthanks Ответить
5 марта 2020 в 23:01
Лина Недзвецкая (^-^) Профиль Благодарили: 0
 Сообщений: 1
(^-^) Лина Недзвецкая
Профиль
Благодарили: 0
 Сообщений: 1
Решите неравенство:
log3 
3x-5 
x+1 
 ≤1
0 Спасибоthanks Ответить
20 августа 2020 в 1:16
Ответ для Лина Недзвецкая
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 1
 Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 1
 Сообщений: 60
 0 < (3x − 5)/(x+1) ≤ 3. 
(3x − 5)/(x+1) > 0   ⇔   x < − 1  ∪  x > 5/3;
(3x − 5)/(x+1)  ≤ 3   ⇔  8/(x+1) ≥ 0   ⇔   x > − 1.
{(−∞;  −1) ∪  (5/3; +∞)} ∩ (−1; +∞) =  (5/3; +∞).
0 Спасибоthanks Ответить
17 июля 2016 в 15:37
Sergey Gurzhiy (^-^) Профиль Благодарили: 0
 Сообщений: 1
(^-^) Sergey Gurzhiy
Профиль
Благодарили: 0
 Сообщений: 1
Решите неравенство
2^3-6x<1

0 Спасибоthanks Ответить
21 сентября 2016 в 13:44
Ответ для Sergey Gurzhiy
Евгений Колосов (^-^) Профиль Благодарили: 14
 Сообщений: 197
(^-^) Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 14
 Сообщений: 197
Странно, что для 11класса, но всё же:

23 ? 6x<1
8 ? 6x<1
? 6x< ? 7
x>
7 
6 
1 Спасибоthanks Ответить
6 июня 2016 в 17:05
Катя Петрова (^-^) Профиль Благодарили: 0
 Сообщений: 1
(^-^) Катя Петрова
Профиль
Благодарили: 0
 Сообщений: 1
8х -3 · 4х + 
9 · 4х ? 288
2х ? 9
 ?32
0 Спасибоthanks Ответить
7 июня 2016 в 2:49
Ответ для Катя Петрова
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 1
 Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 1
 Сообщений: 60
Пусть  2x = y > 0.
Неравенство можно записать в виде 
 
(y — 8)(y — 2)2 
y — 9 
  ? 0.  
Откуда  y = 2 или  8 ? y < 9.
Стало быть,  x = 1 или  3 ? x < log29.
0 Спасибоthanks Ответить
7 июня 2016 в 13:11
Ответ для Катя Петрова
Хачик Казанджян (^-^) Профиль Благодарили: 0
 Сообщений: 1
(^-^) Хачик Казанджян
Профиль
Благодарили: 0
 Сообщений: 1
Форум задачиРешение:Пусть    y=2x ,  y>0Тогда    y3 ? 3y2 +
9y2 -288 
y-9 
 ?32;     y3-3y2+
 9y2-32y
 y-9
?0 
-Tак как y>0, то сокращаем на y и преобразуем к виду 
y3-12y2+36y-32
9-y 
?0    или 
(y-2)2(y-8) 
y-9 
?0Следовательно,   y=2 или (8?y<9)
Учитывая, что y=2x получим  x=1 или (3?x<log29) Ответ:   (x=1)?(3?x<log2). или так  {1?[3;log29)}
0 Спасибоthanks Ответить
8 июня 2016 в 12:10
Ответ для Катя Петрова
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 1
 Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 1
 Сообщений: 60
Списывать нехорошо.
0 Спасибоthanks Ответить
5 мая 2016 в 10:09
Влада Навдушевич (^-^) Профиль Благодарили: 0
 Сообщений: 1
(^-^) Влада Навдушевич
Профиль
Благодарили: 0
 Сообщений: 1
Как решить неравенство (х^2-4х+3)/(х^4-х^6) < или = 0
0 Спасибоthanks Ответить
8 июня 2016 в 12:28
Ответ для Влада Навдушевич
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 1
 Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 1
 Сообщений: 60
 (x — 1)(x — 3)
x4(1 — x)(1 + x) 
 ? 0.
и метод интервалов.
Ответ: (-oo; -1) U [3; +oo).
0 Спасибоthanks Ответить
3 августа 2015 в 16:54
Надие Рахимова (^-^) Профиль Благодарили: 0
 Сообщений: 1
(^-^) Надие Рахимова
Профиль
Благодарили: 0
 Сообщений: 1
область решения неравенства (х-4)>3х равна? решить
0 Спасибоthanks Ответить
31 августа 2016 в 10:31
Ответ для Надие Рахимова
Евгений Колосов (^-^) Профиль Благодарили: 14
 Сообщений: 197
(^-^) Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 14
 Сообщений: 197
(x-4)>3x
x-4-3x>0
-4-2x>0
2x+4<0
2x<-4
x<-2

Проверка: Возьмём число меньшее -2, например -3
-3-4>-3 · 3
12>-9 Верно.
Ответ: x<-2
0 Спасибоthanks Ответить
нарисованный грузовик ручкой