Скрыть меню

Лишь та — ошибка, что не исправляется. Конфуций

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

Что такое чётная функция

Обратимся к определению чётности функции через формулу.

Другими словами, нужно в формулу функции вместо «x» подставить «−x». Затем сравнить полученный результат с формулой исходной функцией.

Если в итоге «y(−x)» будет равен исходной функции «y(x)», значит, эта функция чётная.

Давайте разбираться на практике.

Разбор примера

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

Подставим «−x» вместо «x» в исходную функцию «у = 2x⁴». Если в итоге мы получим исходную функцию, значит, она чётная.

При возведении в чётную степень отрицательного числа всегда получается положительное число.

Проверим, выполняется ли условие чётности функции «у(−x) = у(x)».

у(x) = 2x4 у(−x) = 2x4

у(−x) = у(x) Значит, функция у = 2x4 чётная

После подстановки «−x» мы получили исходную функцию «у = 2x⁴». Условие чётности функции «у(−x) = у(x)» выполнено.

Ответ: функция «у = 2x⁴» чётная.

Что такое нечётная функция

Порядок анализа функции на нечётность:

1. подставить «−x» в исходную функцию, чтобы получить «у(−x)»;
2. вычислить «−у(x)»;
3. сравнить «у(−x)» и «−у(x)». Если они равны, то функция нечётная.

Разбор примера

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

Подставим «−x» вместо «x» в формулу функции «у(x) = 3x ⁵».

При возведении в нечётную степень отрицательного числа получается отрицательное число.

Теперь получим «−у(x)». Для этого умножим левую и правую часть исходной функции «у = 3x ⁵» на «−1».

Сравним полученные результаты «у(−x)» и «−у(x)».

у(−x) = −3x5 −у(x) = −3x5

у(−x) = −у(x) Значит, функция у(x) = 3x 5 является нечётной

Ответ: функция «у(x) = 3x ⁵» нечётная.

Функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными

Разбор примера

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

Проверим, является ли функция
«у = x ³ − 2» чётной. По определению чётной функции должно выполняться условие «у(−x) = у(x)».

Подставим «−x» вместо «x» в исходную функцию «у = x ³ − 2».

Возведение в нечётную степень отрицательного числа даст отрицательное число.

Сравним исходную функцию «y(x)» и полученную «y(−x)», чтобы проверить, является ли функция «у = x ³ − 2» чётной.

у(x) = x 3 − 2 у(−x) = −x 3 − 2

у(−x) ≠ у(−x) Функция у(x) = x 3 − 2 не является чётной

Теперь проверим, является ли функция «у(x) = x ³ − 2» нечётной. По определению нечётной функции должно выполняться условие: «у(−x) = −у(x)».

Функцию «у(−x)» мы рассчитали выше. Осталось вычислить «−у(x)». Для этого умножим левую и правую часть исходной функции «у = x ³ − 2» на «−1».

Используем правило раскрытия скобок. Так как перед скобкой «(x ³ − 2)» стоит знак минуса, все слагаемые внутри поменяют знак на противоположный.

Сравним «−y(x)» и «−y(x)».

у(−x) = −x 3 − 2 −у(x) = −x 3 + 2

у(−x) ≠ у(−x) Функция «у(x) = x 3 − 2» не является нечётной

Ответ: функция «у(x) = x ³ − 2» не является ни чётной, ни нечётной.

Другие примеры чётных и нечётных функций

Разбор примера

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

Проверим, является ли функция
«у = x ² − x + 1» чётной, то есть должно выполняться условие
«у(−x) = у(x)».

Подставим «−x» вместо «x» в формулу функции.

При возведении в чётную степень получается положительное число.

Раскроем скобки «− (−x)» по правилу раскрытия скобок: минус на минус даёт плюс.

Сравним полученную «у(−x)» с исходной функцией «у(x)».

у(x) = x 2 − x + 1 у(−x) = x 2 + x + 1

у(−x) ≠ у(−x) Функция у(x) = = x 2 − x + 1 не является чётной

Проверим, является ли функция
«у = x ² − x + 1» нечётной функцией. Для этого должно выполняться условие: «у(−x) = −у(x)».

Выражение «у(−x)» мы уже посчитали выше. Теперь вычислим «у(−x)». Умножим левую и правую часть исходной функции на «(−1)».

Используем правило раскрытия скобок. При умножении на «(−1)» все слагаемые внутри скобок поменяют свой знак на противоположный.

Сравним полученные «у(−x)» и «−у(x)».

у(−x) = x 2 + x + 1 −у(x) = = −x 2 + x − 1

у(−x) ≠ у(−x) Функция у(x) = x 2 − x + 1 не является нечётной

Ответ: функция «у = x ² − x + 1» не является ни чётной, ни нечётной.

---

Разбор примера

Исследуйте на чётность функцию:

По определению чётности функции «у(−x) = у(x)». Вычислим «у(−x)», подставив «(−x)» вместо «x».

Вынесем «(−1)» из каждого корня. После этого каждое слагаемое внутри корней поменяет знак на противоположный.

Умножим «(−1)» на «(−1)», используя правило знака: минус на минус дает плюс.

От перемены мест множителей произведение не меняется. Поменяем местами
«√x − 1» и «√x + 1».

Проверим, выполняется ли условие чётности функции «у(−x) = у(x)».

у(x) = = √x − 1 · √x + 1 у(−x) = = √x − 1 · √x + 1

у(−x) = у(x) Функция у = = √x − 1 · √x + 1 является чётной

Ответ: функция «у = √x − 1 · √x + 1» является чётной.

---

Разбор примера

Показать, что функция не является чётной и не является нечётной:

По определению чётности функции «y(−x) = y(x)». Вычислим «y(−x)».

Подставим «−x» в исходную функцию
«у =

x + 2

x − 3

».

Сравним «у(−x)» и «у(x)».

у(−x) = −x + 2 −x − 3 у(x) = x + 2 x − 3

у(−x) ≠ у(x) Значит, функция y = x + 2 x − 3 не является чётной

Проверим функцию «y =

x + 2

x − 3

» на нечётность.

По определению нечётности функции «y(−x) = −y(x)». Функцию «y(−x)» мы вычислили ранее. Вычислим «−y(x)».

Для этого умножим левую и правую часть исходной функции на «−1».

Сравним «у(−x)» и «−у(x)».

у(−x) = −x + 2 −x − 3 −у(x) = = − x + 2 x − 3

у(−x) ≠ −у(x) Значит, функция y = x + 2 x − 3 не является нечётной

Ответ: функция «y =

x + 2

x − 3

» не является ни чётной, ни нечётной.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Отправить

---