Карандаш и циркуль годзилла надпись на парте cos 60 рокки надпись на парте umbrella надпись

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Можно дать другому разумный совет, но нельзя научить его разумному поведению.Франсуа де Ларошфуко
На главную страницу На главную страницу на главную

Чётные и нечётные функции

лупа Скрепки
Поддержать сайтспасибо

Что такое чётная функция

Обратимся к определению чётности функции через формулу.

Запомните! !

Функция «у(x)» называется чётной, если

у(x) = у(x)

для любого «x» из области определения функции.

Другими словами, нужно в формулу функции вместо «x» подставить «−x». Затем сравнить полученный результат с формулой исходной функцией.

Если в итоге «y(−x)» будет равен исходной функции «y(x)», значит, эта функция чётная.

Давайте разбираться на практике.

Разбор примера

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

у = 2x4
Важно! Галка

При обозначении функции используют разные варианты написания
«у = …» или «у(x) = …». По сути, это одинаковые обозначения.

Подставим «−x» вместо «x» в исходную функцию «у = 2x4». Если в итоге мы получим исходную функцию, значит, она чётная.

у(−x) = 2(−x)4 = …

При возведении в чётную степень отрицательного числа всегда получается положительное число.

у(−x) = 2(−x)4 = 2x4

Проверим, выполняется ли условие чётности функции «у(−x) = у(x)».

у(x) = 2x4

у(−x) = 2x4
у(−x) = у(x)
Значит, функция
у = 2x4 чётная

После подстановки «−x» мы получили исходную функцию «у = 2x4». Условие чётности функции «у(−x) = у(x)» выполнено.

Ответ: функция «у = 2x4» чётная.

Что такое нечётная функция

Запомните! !

Функция «у(x)» называется нечётной, если

у(x) = у(x)

для любого «x» из области определения функции.

Порядок анализа функции на нечётность:
  1. подставить «−x» в исходную функцию, чтобы получить «у(−x)»;
  2. вычислить «−у(x)»;
  3. сравнить «у(−x)» и «−у(x)». Если они равны, то функция нечётная.

Разбор примера

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

у = 3x 5

Подставим «−x» вместо «x» в формулу функции «у(x) = 3x 5».

у(−x) = 3(−x) 5 = …

При возведении в нечётную степень отрицательного числа получается отрицательное число.

у(−x) = 3(−x) 5 = −3x 5

Теперь получим «−у(x)». Для этого умножим левую и правую часть исходной функции «у = 3x 5» на «−1».

у(x) = 3x 5 | · (−1)

−у(x) = −3x 5

Сравним полученные результаты «у(−x)» и «−у(x)».

у(−x) = −3x5

−у(x) = −3x5
у(−x) = −у(x)

Значит, функция у(x) = 3x 5 является нечётной

Ответ: функция «у(x) = 3x 5» нечётная.

Важно! Галка

Не бывает функций, которые одновременно являются чётными и нечётными.

Поэтому, если при анализе функции вы выяснили, что функция является чётной (или нечётной), нет смысла продолжать ее анализ на чётность/нечётность. Можно сразу записывать ответ.

Функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными

Важно! Галка

Не все функции обязательно являются чётными или нечётными. Есть функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными.

Разбор примера

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

у = x 3 − 2

Проверим, является ли функция
«у = x 3 − 2» чётной. По определению чётной функции должно выполняться условие «у(−x) = у(x)».

Подставим «−x» вместо «x» в исходную функцию «у = x 3 − 2».

у(−x) = (−x) 3 − 2 = …

Возведение в нечётную степень отрицательного числа даст отрицательное число.

у(−x) = (−x) 3 − 2 = −x 3 − 2

Сравним исходную функцию «y(x)» и полученную «y(−x)», чтобы проверить, является ли функция «у = x 3 − 2» чётной.

у(x) = x 3 − 2

у(−x) = −x 3 − 2
у(−x) ≠ у(−x)

Функция
у(x) = x 3 − 2 не является чётной

Теперь проверим, является ли функция «у(x) = x 3 − 2» нечётной. По определению нечётной функции должно выполняться условие: «у(−x) = −у(x)».

Функцию «у(−x)» мы рассчитали выше. Осталось вычислить «−у(x)». Для этого умножим левую и правую часть исходной функции «у = x 3 − 2» на «−1».

у(x) = x 3 − 2 | · (−1)

−у(x) = −(x 3 − 2)

Используем правило раскрытия скобок. Так как перед скобкой «(x 3 − 2)» стоит знак минуса, все слагаемые внутри поменяют знак на противоположный.

−у(x) = −x 3 + 2

Сравним «−y(x)» и «−y(x)».

у(−x) = −x 3 − 2

−у(x) = −x 3 + 2
у(−x) ≠ у(−x)

Функция
«у(x) = x 3 − 2» не является нечётной

Ответ: функция «у(x) = x 3 − 2» не является ни чётной, ни нечётной.

Другие примеры чётных и нечётных функций

Разбор примера

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

у = x 2 − x + 1

Проверим, является ли функция
«у = x 2 − x + 1» чётной, то есть должно выполняться условие
«у(−x) = у(x)».

Подставим «−x» вместо «x» в формулу функции.

у(−x) = (−x) 2 − (−x) + 1 = …

При возведении в чётную степень получается положительное число.

у(−x) = (x) 2 − (−x) + 1 =

= x 2 − (−x) + 1 = …

Раскроем скобки «− (−x)» по правилу раскрытия скобок: минус на минус даёт плюс.

у(−x) = (−x) 2 − (−x) + 1 =

= x 2 (x) + 1 = x 2 + x + 1

Сравним полученную «у(−x)» с исходной функцией «у(x)».

у(x) = x 2 − x + 1

у(−x) = x 2 + x + 1
у(−x) ≠ у(−x)

Функция
у(x) =
= x 2 − x + 1

не является чётной

Проверим, является ли функция
«у = x 2 − x + 1» нечётной функцией. Для этого должно выполняться условие: «у(−x) = −у(x)».

Выражение «у(−x)» мы уже посчитали выше. Теперь вычислим «у(−x)». Умножим левую и правую часть исходной функции на «(−1)».

у(x) = x 2 − x + 1 | · (−1)

(−1) · у(x) = (−1) · (x 2 − x + 1)

Используем правило раскрытия скобок. При умножении на «(−1)» все слагаемые внутри скобок поменяют свой знак на противоположный.

−у(x) = −x 2 + x − 1

Сравним полученные «у(−x)» и «−у(x)».

у(−x) = x 2 + x + 1


−у(x) =

= −x 2 + x − 1
у(−x) ≠ у(−x)

Функция
у(x) = x 2 − x + 1 не является нечётной

Ответ: функция «у = x 2 − x + 1» не является ни чётной, ни нечётной.


Разбор примера

Исследуйте на чётность функцию:

у = √x − 1 · √x + 1

По определению чётности функции «у(−x) = у(x)». Вычислим «у(−x)», подставив «(−x)» вместо «x».

у(−x) = √(−x) − 1 · √(−x) + 1 =

=−x − 1 · √−x + 1 = …

Вынесем «(−1)» из каждого корня. После этого каждое слагаемое внутри корней поменяет знак на противоположный.

… = (−1) · √x + 1 · (−1) · √x − 1 =

= (−1) · (−1) √x + 1 · √x − 1 = …

Умножим «(−1)» на «(−1)», используя правило знака: минус на минус дает плюс.

… = √x + 1 · √x − 1 = …

От перемены мест множителей произведение не меняется. Поменяем местами
«x − 1» и «x + 1».


… = √x − 1 · √x + 1

Проверим, выполняется ли условие чётности функции «у(−x) = у(x)».

у(x) =

=x − 1 · √x + 1


у(−x) =

=x − 1 · √x + 1
у(−x) = у(x)

Функция
у =
=x − 1 · √x + 1
является чётной

Ответ: функция «у = √x − 1 · √x + 1» является чётной.


Разбор примера

Показать, что функция не является чётной и не является нечётной:

у =
x + 2
x − 3

По определению чётности функции «y(−x) = y(x)». Вычислим «y(−x)».

Подставим «−x» в исходную функцию
«у =
x + 2
x − 3
».

у(−x) =
−x + 2
−x − 3

Сравним «у(−x)» и «у(x)».

у(−x) =
−x + 2
−x − 3


у(x) =
x + 2
x − 3
у(−x) ≠ у(x)
Значит, функция
y =
x + 2
x − 3
не является чётной
Проверим функцию «y =
x + 2
x − 3
» на нечётность.

По определению нечётности функции «y(−x) = −y(x)». Функцию «y(−x)» мы вычислили ранее. Вычислим «−y(x)».

Для этого умножим левую и правую часть исходной функции на «−1».

у(x) =
x + 2
x − 3
| · (−1)

у(x) =
x + 2
x − 3
             

Сравним «у(−x)» и «−у(x)».

у(−x) =
−x + 2
−x − 3



−у(x) =

=
x + 2
x − 3
у(−x) ≠ −у(x)
Значит, функция
y =
x + 2
x − 3
не является нечётной
Ответ: функция «y =
x + 2
x − 3
» не является ни чётной, ни нечётной.
umbrella надпись