На главную страницу
Войти при помощи
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Арифметическая прогрессия
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
Что такое степень числа
Поддержать сайтОбращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 46 и произносят «четыре в шестой степени».
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 46Выражение 46 называют степенью числа, где:
- 4 — основание степени;
- 6 — показатель степени.
В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:
Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».
Запись «an» читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».
Исключение составляют записи:
- a2 — её можно произносить как «а в квадрате»;
- a3 — её можно произносить как «а в кубе».
Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
- a2 — «а во второй степени»;
- a3 — «а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).
Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
a1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1n = 1
Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.
- (−32)0 = 1
- 0253 = 0
- 14 = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Пример. Возвести в степень.
- 53 = 5 · 5 · 5 = 125
- 2,52 = 2,5 · 2,5 = 6,25
- (
)4 =3 4
·3 4
·3 4
·3 4
=3 4
=3 · 3 · 3 · 3 4 · 4 · 4 · 4 81 256
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное.
Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
a2 ≥ 0 при любом a.
- 2 · (−3)2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
- −5 · (−2)3 = −5 · (−8) = 40
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5)4 и −54 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (−5)4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
В то время как найти «−54» означает, что пример нужно решать в 2 действия:
- Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 - Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить
действие вычитание).
−54 = −625
Пример. Вычислить: −62 − (−1)4
−62 − (−1)4 = −37- 62 = 6 · 6 = 36
- −62 = −36
- (−1)4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
- −(−1)4 = −1
- −36 − 1 = −37
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Пример. Вычислить:
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».
Ваши комментарии
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Сообщений: 1
Как именно получилось 104 ?
0,4 · 105 = 4 · 104
спасибо за внимание!
Ответ для Bmw Touring
Сообщений: 3
Сообщений: 2
нужно правило что такое степень с натуральным показателем
Ответ для Виктория Горловская
Сообщений: 2
Ответ для Виктория Горловская
Сообщений: 1
Сообщений: 3
Ответ для Мирослава Заруцкая
Сообщений: 3
Ответ для Мирослава Заруцкая
Сообщений: 3
Ответ для Мирослава Заруцкая
Сообщений: 60
Сообщений: 3
Ответ для Злата Крамаренко
Сообщений: 60
Ответ для Злата Крамаренко
Сообщений: 3
Ответ для Злата Крамаренко
Сообщений: 60
(2x ? y)2 |
2 |
(3y ? 2)2 |
6 |
Сообщений: 1
1 |
8 |
1 |
8 |
Ответ для Екатерина Гулиева
Сообщений: 197
1) 7
1 |
8 |
57 |
8 |
171 |
8 |
3 |
8 |
Ответ : 21
3 |
8 |
1 |
8 |
2)7
1 |
8 |
57 |
8 |
57 |
8 · 3 |
57 |
24 |
9 |
24 |
3 |
8 |
Ответ: 2
3 |
8 |
1 |
8 |
Ответ для Надежда Егина
Сообщений: 2
Ответ для Валерия Соколова
Сообщений: 60
Сообщений: 1
Ответ для Влада Данилова
Сообщений: 1
Сообщений: 1
Ответ для Елена Облупина
Сообщений: 197
При возведении степени в степень, степени перемножаются. Свойство №3
Сообщений: 4
Ответ для Евгений Куринной
Сообщений: 4
Ответ для Евгений Куринной
Сообщений: 4
Ответ для Евгений Куринной
Сообщений: 197