Скрыть меню

Чтобы что-то получить, надо что-нибудь вложить.Народная мудрость

Для учёбы

Библиотека

Презентации

Форум

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Библиотека	Презентации	Форум
Супер-решатель	Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4⁶ и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4⁶

Выражение 4⁶ называют степенью числа, где:

• 4 — основание степени;
• ⁶ — показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:

Запись «aⁿ» читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

Исключение составляют записи:

• a² — её можно произносить как «а в квадрате»;
• a³ — её можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

• a² — «а во второй степени»;
• a³ — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.

• (−32)⁰ = 1
• 0²⁵³ = 0
• 1⁴ = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

• 5³ = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5² = 2,5 · 2,5 = 6,25
• (

  3

  4

  )⁴ =

  3

  4

  ·

  3

  4

  ·

  3

  4

  ·

  3

  4

  =

  3 · 3 · 3 · 3

  4 · 4 · 4 · 4

  =

  81

  256

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

• 2 · (−3)² = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2)³ = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5)⁴ и −5⁴ это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5)⁴ означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

В то время как найти «−5⁴» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
   5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
   −5⁴ = −625

Пример. Вычислить: −6² − (−1)⁴

−6² − (−1)⁴ = −37

1. 6² = 6 · 6 = 36
2. −6² = −36
3. (−1)⁴ = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1)⁴ = −1
5. −36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».