Карандаш и циркуль хочу есть надпись на парте она жует свой орбит без сахара надпись на парте sin(x) = 1 cos 60

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед. Айвен Нивен
На главную страницу На главную страницу на главную

Нули функции

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо

Прежде чем перейти к изучению темы «Нули функции» внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Запомните! !

Нули функции — это
значения « x » (аргумента функции),
при которых « y = 0 ».

В заданиях «Найдите нули функции» чаще всего сама функция задана через формулу (аналитически). Разберем алгоритм решения подобных задач.

Как найти нули функции, заданной формулой

Важно! Галка

Чтобы найти нули функции, нужно:

  • в формулу функции вместо
    « у » (или « f(x) », « g(x) » и т.п.)
    подставить «0»;
  • решить полученное уравнение
    относительно « x »;
  • записать полученные решения уравнения для « x » в ответ.

По традиции разберемся на примере.

Разбор примера

Найдите нули функции:

f(x) = 0,2x + 3

Подставим вместо значения функции « f(x) » ноль.

0 = 0,2x + 3

Решаем полученное линейное уравнение и записываем полученный ответ
для « x ».

0 = 0,2x + 3

Перенесем неизвестное « 0,2x » из правой части уравнения в левую с противоположным знаком.

      −0,2x = 3     | · (−1)

0,2x = −3

Переведем десятичную дробь «0,2» в обыкновненную для упрощения дальнейших расчетов.

0,2x = −3

2
10
· x = −3     | · 10

2
10
· x · 10 = −3 · 10

2 · 10
10
· x = −30

2x = −30

x =
−30
2


x = −15

Ответ: x = −15 является нулем
функции    f(x) = 0,2x + 3

Разбор примера

Найдите нули функции:

f(x) = x 3 − 4x

Вместо « f(x) » подставим ноль.

0 = x 3 − 4x

−x 3 + 4x = 0     | · (−1)

(−1) · (−x 3 + 4x) = 0 · (−1)

x 3 − 4x = 0

Вынесем общий множитель « x » за скобки.

x(x 2 − 4) = 0

В левой части полученного уравнения у нас два множителя:
« x » и «(x 2 − 4)». Результат их умножения равен нулю.

Это возможно, когда любой из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим оба варианта: когда множитель « x » равен нулю и когда множитель «(x 2 − 4)» равен нулю.

1) x = 0

2) x 2 − 4 = 0

Решаем квадратное уравнение
«x 2 − 4 = 0». Используем формулу для решения квадратного уравнения с дискриминантом.


a · x 2 + b · x + c = 0

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a



x 2 − 4 = 0

x1;2 =
0 ± √02 − 4 · 1 · (−4)
2 · 1


x1;2 =
± √16
2


x1;2 =
±4
2


x1 =
4
2
x2 =
−4
2
x1 = 2 x2 = −2

Запишем все полученные корни уравнений в ответ в порядке возрастания. Они будут являться нулями функции.

Ответ: x = −2; x = 0; x = 2 являются нулями функции    f(x) = x 3 − 4x

Разбор примера

Найдите нули функции:

h(x) =
x 2 − x − 6
x + 3


Подставим вместо « h(x) » ноль.

0 =
x 2 − x − 6
x + 3


Перенесем правую часть
x 2 − x − 6
x + 3

в левую, изменив ее знак на минус.
(
x 2 − x − 6
x + 3
) = 0 | · (−1)

x 2 − x − 6
x + 3
= 0

Единственный вариант, когда дробь будет равна нулю, только если
ее числитель «x 2 − x − 6» будет равен нулю. Знаменатель «x + 3» не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

x 2 − x − 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение через формулу с дискриминантом.


a · x 2 + b · x + c = 0

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a



x 2 − x − 6 = 0

x1;2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 · 1 · (−6)
2 · 1


x1;2 =
1 ± √1 + 24
2




x1;2 =
1 ± √25
2


x1;2 =
1 ± 5
2


x1 =
1 + 5
2
x2 =
1 − 5
2
x1 =
6
2
x2 =
−4
2
x1 = 3 x2 = −2


Ответ: x = −2; x = 3 являются нулями функции    h(x) =
x 2 − x − 6
x + 3

Разбор примера

Найдите нули функции:

f(x) = x 2 − 4

Заменим «f(x)» на ноль.

x 2 − 4 = 0

Единственное число, квадратный корень которого равен нулю — это сам ноль. Поэтому, квадратный корень
« x 2 − 4 = 0 » будет равен нулю, когда его подкоренное выражение « x 2 − 4 » будет равно нулю.

x 2 − 4 = 0

Осталось решить полученное квадратное уравнение, чтобы найти нули функции
«f(x) = x 2 − 4».

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a



x 2 − 4 = 0

x1;2 =
−(−0) ± √(−0)2 − 4 · 1 · (−4)
2 · 1


x1;2 =
± √16
2


x1;2 =
± 4
2


x1 =
4
2
x2 =
−4
2
x1 = 2 x2 = −2

Ответ: x = −2; x = 2 являются нулями функции   f(x) = x 2 − 4

Как найти нули функции на графике функции

Важно! Галка

Графически нули функции — это точки пересечения графика функции
с осью «Ox» (осью абсцисс).

По определению нули функции — это значения « x »,
при которых « y = 0 ». Другими словами, у точек графика функции, которые являются нулями функции,
координата « x » равна нулю.

нули функции на графике функции

Чтобы найти нули функции на графике нам остается, только найти, какая у них координата по оси « Ox ».

координаты нулей функции на графике функции

Рассмотрим на примере.

Разбор примера

На рисунке ниже изображен график функции « y = f(x) », определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите нули функции.

найдите нули на графике функции

Отметим на графике функции его точки пересечения с осью « Ox ».

нули на графике функции в задании

Назовем полученные точки «(·)А» и «(·)B». В точках «(·)А» и «(·)B» график функции пересекает
ось « Ox » , то есть координаты точки «(·)А» и «(·)B» по оси « Oy » равны нулю.

Точки «(·)А» и «(·)B» — нули функции. Теперь определим, чему равны их координаты по оси « Ox ».

точки нули на графике функции в задании

На графике видно, что у точки «(·)А» координата « x » равна « 0 », а у точки «(·)B» координата « x » равна « 2 ».

полученные точки нули на графике функции в задании

Запишем полученные значения координат « x » в ответ.

Ответ: x = 0; x = 2 являются нулями функции.

Как найти нули функции, заданной таблицей

В некоторых заданиях, где требуется найти нули функции, сама функция задана не вполне привычно с помощью формулы, а с помощью таблицы. Поиск нулей в таких примерах является легкой задачей.

Разбор примера

Найдите нули функции, заданной таблицей.

x −2 −1 0 1 2 3
y −3 −1,5 0 2 1 0

Вспомним определение нулей функции.

Запомните! !

Нули функции — это
значения « x » в функции, при которых « y = 0 ».

Согласно определению нулей функции нам достаточно найти значения « x » в таблице,
где « y = 0 ». Выделим их цветом.

x −2 −1 0 1 2 3
y −3 −1,5 0 2 1 0

Остаётся только записать в ответ значения « x » из таблицы.

Ответ: x = 0; x = 3 являются нулями функции, заданной таблицей.


cos 60