Карандаш и циркуль длина круга че такой серьезный надпись нарисованный автобус ручкой квадрат суммы надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

30 минут занятий в день заменяют двое бессонных суток перед экзаменом. Администратор
На главную страницу На главную страницу на главную

Нули функции

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо

Прежде чем перейти к изучению темы «Нули функции» внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Запомните! !

Нули функции — это
значения « x » (аргумента функции),
при которых « y = 0 ».

В заданиях «Найдите нули функции» чаще всего сама функция задана через формулу (аналитически). Разберем алгоритм решения подобных задач.

Как найти нули функции, заданной формулой

Важно! Галка

Чтобы найти нули функции, нужно:

  • в формулу функции вместо
    « у » (или « f(x) », « g(x) » и т.п.)
    подставить «0»;
  • решить полученное уравнение
    относительно « x »;
  • записать полученные решения уравнения для « x » в ответ.

По традиции разберемся на примере.

№ 260 (1) Мерзляк 9 класс

Найдите нули функции:

f(x) = 0,2x + 3

Подставим вместо значения функции « f(x) » ноль.

0 = 0,2x + 3

Решаем полученное линейное уравнение и записываем полученный ответ
для « x ».

0 = 0,2x + 3

Перенесем неизвестное « 0,2x » из правой части уравнения в левую с противоположным знаком.

      −0,2x = 3     | · (−1)

0,2x = −3

Переведем десятичную дробь «0,2» в обыкновненную для упрощения дальнейших расчетов.

0,2x = −3

2
10
· x = −3     | · 10

2
10
· x · 10 = −3 · 10

2 · 10
10
· x = −30

2x = −30

x =
−30
2


x = −15

Ответ: x = −15 является нулем
функции    f(x) = 0,2x + 3

№ 260 (5) Мерзляк 9 класс

Найдите нули функции:

f(x) = x 3 − 4x

Вместо « f(x) » подставим ноль.

0 = x 3 − 4x

−x 3 + 4x = 0     | · (−1)

(−1) · (−x 3 + 4x) = 0 · (−1)

x 3 − 4x = 0

Вынесем общий множитель « x » за скобки.

x(x 2 − 4) = 0

В левой части полученного уравнения у нас два множителя:
« x » и «(x 2 − 4)». Результат их умножения равен нулю.

Это возможно, когда любой из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим оба варианта: когда множитель « x » равен нулю и когда множитель «(x 2 − 4)» равен нулю.

1) x = 0

2) x 2 − 4 = 0

Решаем квадратное уравнение
«x 2 − 4 = 0». Используем формулу для решения квадратного уравнения с дискриминантом.


a · x 2 + b · x + c = 0

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a



x 2 − 4 = 0

x1;2 =
0 ± √02 − 4 · 1 · (−4)
2 · 1


x1;2 =
± √16
2


x1;2 =
±4
2


x1 =
4
2
x2 =
−4
2
x1 = 2 x2 = −2

Запишем все полученные корни уравнений в ответ в порядке возрастания. Они будут являться нулями функции.

Ответ: x = −2; x = 0; x = 2 являются нулями функции    f(x) = x 3 − 4x

№ 260 (4) Мерзляк 9 класс

Найдите нули функции:

h(x) =
x 2 − x − 6
x + 3


Подставим вместо « h(x) » ноль.

0 =
x 2 − x − 6
x + 3


Перенесем правую часть
x 2 − x − 6
x + 3

в левую, изменив ее знак на минус.
(
x 2 − x − 6
x + 3
) = 0 | · (−1)

x 2 − x − 6
x + 3
= 0

Единственный вариант, когда дробь будет равна нулю, только если
ее числитель «x 2 − x − 6» будет равен нулю. Знаменатель «x + 3» не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

x 2 − x − 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение через формулу с дискриминантом.


a · x 2 + b · x + c = 0

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a



x 2 − x − 6 = 0

x1;2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 · 1 · (−6)
2 · 1


x1;2 =
1 ± √1 + 24
2




x1;2 =
1 ± √25
2


x1;2 =
1 ± 5
2


x1 =
1 + 5
2
x2 =
1 − 5
2
x1 =
6
2
x2 =
−4
2
x1 = 3 x2 = −2


Ответ: x = −2; x = 3 являются нулями функции    h(x) =
x 2 − x − 6
x + 3

№ 261 (3) Мерзляк 9 класс

Найдите нули функции:

f(x) = x 2 − 4

Заменим «f(x)» на ноль.

x 2 − 4 = 0

Единственное число, квадратный корень которого равен нулю — это сам ноль. Поэтому, квадратный корень
« x 2 − 4 = 0 » будет равен нулю, когда его подкоренное выражение « x 2 − 4 » будет равно нулю.

x 2 − 4 = 0

Осталось решить полученное квадратное уравнение, чтобы найти нули функции
«f(x) = x 2 − 4».

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a



x 2 − 4 = 0

x1;2 =
−(−0) ± √(−0)2 − 4 · 1 · (−4)
2 · 1


x1;2 =
± √16
2


x1;2 =
± 4
2


x1 =
4
2
x2 =
−4
2
x1 = 2 x2 = −2

Ответ: x = −2; x = 2 являются нулями функции   f(x) = x 2 − 4

Как найти нули функции на графике функции

Важно! Галка

Графически нули функции — это точки пересечения графика функции
с осью «Ox» (осью абсцисс).

По определению нули функции — это значения « x »,
при которых « y = 0 ». Другими словами, у точек графика функции, которые являются нулями функции,
координата « x » равна нулю.

нули функции на графике функции

Чтобы найти нули функции на графике нам остается, только найти, какая у них координата по оси « Ox ».

координаты нулей функции на графике функции

Рассмотрим на примере.

№ 255 (1) Мерзляк 9 класс

На рисунке ниже изображен график функции « y = f(x) », определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите нули функции.

найдите нули на графике функции

Отметим на графике функции его точки пересечения с осью « Ox ».

нули на графике функции в задании

Назовем полученные точки «(·)А» и «(·)B». В точках «(·)А» и «(·)B» график функции пересекает
ось « Ox » , то есть координаты точки «(·)А» и «(·)B» по оси « Oy » равны нулю.

Точки «(·)А» и «(·)B» — нули функции. Теперь определим, чему равны их координаты по оси « Ox ».

точки нули на графике функции в задании

На графике видно, что у точки «(·)А» координата « x » равна « 0 », а у точки «(·)B» координата « x » равна « 2 ».

полученные точки нули на графике функции в задании

Запишем полученные значения координат « x » в ответ.

Ответ: x = 0; x = 2 являются нулями функции.

Как найти нули функции, заданной таблицей

В некоторых заданиях, где требуется найти нули функции, сама функция задана не вполне привычно с помощью формулы, а с помощью таблицы. Поиск нулей в таких примерах является легкой задачей.

№ 1.83 (2) Кузнецова 9 класс

Найдите нули функции, заданной таблицей.

x −2 −1 0 1 2 3
y −3 −1,5 0 2 1 0

Вспомним определение нулей функции.

Запомните! !

Нули функции — это
значения « x » в функции, при которых « y = 0 ».

Согласно определению нулей функции нам достаточно найти значения « x » в таблице,
где « y = 0 ». Выделим их цветом.

x −2 −1 0 1 2 3
y −3 −1,5 0 2 1 0

Остаётся только записать в ответ значения « x » из таблицы.

Ответ: x = 0; x = 3 являются нулями функции, заданной таблицей.


квадрат суммы надпись на парте