На главную страницу
Войти при помощи
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Арифметическая прогрессия
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
на главную
Нули функции
Поддержать сайт
Прежде чем перейти к изучению темы «Нули функции»
внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».
В заданиях «Найдите нули функции» чаще всего сама функция задана через формулу (аналитически). Разберем алгоритм решения подобных задач.
Как найти нули функции, заданной формулой
Чтобы найти нули функции, нужно:
- в формулу функции вместо
« у » (или « f(x) », « g(x) » и т.п.)
подставить «0»; - решить полученное уравнение
относительно « x »; - записать полученные решения уравнения для « x » в ответ.
По традиции разберемся на примере.
Разбор примера
Найдите нули функции:
Подставим вместо значения функции « f(x) » ноль.
Решаем полученное линейное уравнение
и записываем полученный ответ
для « x ».
Перенесем неизвестное « 0,2x » из правой части уравнения в левую с противоположным знаком.
0,2x = −3
Переведем десятичную дробь «0,2» в обыкновненную для упрощения дальнейших расчетов.
| 2 |
| 10 |
| 2 |
| 10 |
| 2 · 10 |
| 10 |
2x = −30
x =
| −30 |
| 2 |
x = −15
Ответ: x = −15 является нулем
функции f(x) = 0,2x + 3
Разбор примера
Найдите нули функции:
Вместо « f(x) » подставим ноль.
−x 3 + 4x = 0 | · (−1)
(−1) · (−x 3 + 4x) = 0 · (−1)
x 3 − 4x = 0
Вынесем общий множитель « x » за скобки.
В левой части полученного уравнения у нас два множителя:
« x »
и «(x 2 − 4)». Результат их умножения равен нулю.
Это возможно, когда любой из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим оба варианта: когда множитель « x » равен нулю и когда множитель «(x 2 − 4)» равен нулю.
2) x 2 − 4 = 0
Решаем квадратное уравнение
«x 2 − 4 = 0».
Используем формулу
для решения квадратного уравнения с дискриминантом.
a · x 2 + b · x + c = 0
x1;2 =
| −b ± √b2 − 4ac |
| 2a |
x 2 − 4 = 0
x1;2 =
| 0 ± √02 − 4 · 1 · (−4) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| ± √16 |
| 2 |
x1;2 =
| ±4 |
| 2 |
x1 =
|
x2 =
|
||||
| x1 = 2 | x2 = −2 |
Запишем все полученные корни уравнений в ответ в порядке возрастания. Они будут являться нулями функции.
Ответ: x = −2; x = 0; x = 2 являются нулями функции f(x) = x 3 − 4x
Разбор примера
Найдите нули функции:
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
Подставим вместо « h(x) » ноль.
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
в левую, изменив ее знак на минус.
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
Единственный вариант, когда дробь будет равна нулю, только если
ее числитель
«x 2 − x − 6» будет равен нулю. Знаменатель
«x + 3» не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Решим полученное квадратное уравнение через формулу с дискриминантом.
x1;2 =
| −b ± √b2 − 4ac |
| 2a |
x 2 − x − 6 = 0
x1;2 =
| −(−1) ± √(−1)2 − 4 · 1 · (−6) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 1 ± √1 + 24 |
| 2 |
x1;2 =
| 1 ± √25 |
| 2 |
x1;2 =
| 1 ± 5 |
| 2 |
x1 =
|
x2 =
|
||||
x1 =
|
x2 =
|
||||
| x1 = 3 | x2 = −2 |
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
Разбор примера
Найдите нули функции:
Заменим «f(x)» на ноль.
Единственное число, квадратный корень которого равен нулю — это сам ноль.
Поэтому, квадратный корень
«√ x 2 − 4 = 0 »
будет равен нулю, когда его подкоренное выражение
« x 2 − 4 »
будет равно нулю.
Осталось решить полученное квадратное уравнение, чтобы найти нули функции
«f(x) = √x 2 − 4».
| −b ± √b2 − 4ac |
| 2a |
x 2 − 4 = 0
x1;2 =
| −(−0) ± √(−0)2 − 4 · 1 · (−4) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| ± √16 |
| 2 |
x1;2 =
| ± 4 |
| 2 |
x1 =
|
x2 =
|
||||
| x1 = 2 | x2 = −2 |
Ответ: x = −2; x = 2 являются нулями функции f(x) = √x 2 − 4
Как найти нули функции на графике функции
По определению
нули функции — это значения « x »,
при которых
« y = 0 ». Другими словами, у точек
графика функции, которые являются нулями функции,
координата « x » равна нулю.
Чтобы найти нули функции на графике нам остается, только найти, какая у них координата по оси « Ox ».
Рассмотрим на примере.
Разбор примера
На рисунке ниже изображен график функции « y = f(x) », определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите нули функции.
Отметим на графике функции его точки пересечения с осью « Ox ».
Назовем полученные точки «(·)А» и «(·)B».
В точках «(·)А» и «(·)B» график функции пересекает
ось
« Ox » , то есть координаты точки «(·)А» и «(·)B»
по оси « Oy »
равны нулю.
Точки «(·)А» и «(·)B» — нули функции. Теперь определим, чему равны их координаты по оси « Ox ».
На графике видно, что у точки «(·)А» координата « x » равна « 0 », а у точки «(·)B» координата « x » равна « 2 ».
Запишем полученные значения координат « x » в ответ.
Ответ: x = 0; x = 2 являются нулями функции.
Как найти нули функции, заданной таблицей
В некоторых заданиях, где требуется найти нули функции, сама функция задана не вполне привычно с помощью формулы, а с помощью таблицы. Поиск нулей в таких примерах является легкой задачей.
Разбор примера
Найдите нули функции, заданной таблицей.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −3 | −1,5 | 0 | 2 | 1 | 0 |
Вспомним определение нулей функции.
Нули функции — это
значения « x » в функции,
при которых « y = 0 ».
Согласно определению нулей функции нам достаточно найти значения « x » в таблице,
где
« y = 0 ». Выделим их цветом.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −3 | −1,5 | 0 | 2 | 1 | 0 |
Остаётся только записать в ответ значения « x » из таблицы.
Ответ: x = 0; x = 3 являются нулями функции, заданной таблицей.
Ваши комментарии
Оставить комментарий: