Карандаш и циркуль малыш йода надпись на парте нарисованный автобус ручкой нарисованная бетономешалка умножение дробей надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Запоминайте всё, что я вам говорю, а я уж тем более всё это запомню. Администратор
На главную страницу На главную страницу на главную

Возрастание и убывание функции

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо

Что такое возрастание функции

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Запомните! !

Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если
для любых « x1 » и « x2 » принадлежащих данному промежутку, таких, что « x2 > x1 » выполняется неравенство
« y( x2 ) > y( x1 )».

Определение сложно понять без наглядного примера. Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x » соответствует бóльшее значение « y », значит, функция « y(x) » возрастает.

x2 > x1
y( x2 ) > y( x1 )
Обязательное условие возрастания функции

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

Разбор примера

Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?

Для начала определим область определения функции « y = 9x − 4 ».

y = 9x − 4
D(y): x ∈ R
,
то есть « x » — любое действительное число.

Построим график функции
« y = 9x − 4 ». Так как функция
« y = 9x − 4 » линейная, ее график — прямая.

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа, поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».

x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4

Для второй точки возьмем « x = 1 ».

x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5

Отметим две полученные
точки «(0; −4)» и «(1; 5)» на координатной плоскости и проведем через них прямую.

график линейной функции y = 9x - 4

Докажем, что функция « y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и аналитически (по ее формуле).

Как определить по графику, что функция возрастает

По определению возрастания функции мы знаем, что если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.

На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 » «идет в гору». Другими словами, при увеличении « x » растет значение « y » .

график линейной функции возрастает

В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».

точки А и В на графике

У первой точки « (·)A » координаты:
x1 = 0 ;   y1 = − 4

У второй точки « (·)B » координаты:
x2 = 1 ;   y2 = 5

На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что при увеличении
« x ( x2 > x1 )» растет
« y ( y2 > y1 ) ». Поэтому график зрительно «идет в гору».

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».

По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает, так как ее график «идет в гору». Но как доказать по формуле, что функция возрастает на всей своей области определения?

Запомните! !

Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x2 > x1 »
выполняется условие
« y( x2 ) > y( x1 ) ».

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при « x2 > x1 » увеличивается значение функции
« y( x2 ) > y( x1 ) ».

Но как нам найти значения функции
« y( x1 )» и «y( x2 ) »?

Для нахождения « y( x1 )» и «y( x2 ) » достаточно подставить « x1 » и « x2 » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».

y( x1 ) = 9x1 − 4
y( x2 ) = 9x2 − 4

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

x2 > x1
y( x2 ) > y( x1 )
Обязательное условие возрастания функции

Подставим в неравенство
« y( x2 ) > y( x1 ) » полученные формулы
« y( x1 ) = 9x1 − 4» и
« y( x2 ) = 9x2 − 4 » .

y( x2 ) > y( x1 )
9x2 − 4 > 9x1 − 4

Упростим полученное неравенство.

9x2 − 9x1 > − 4 + 4
9x2 − 9x1 > 0

Вынесем общий множитель в левой части неравенства.

9(x2 − x1) > 0

Разделим левую и правую часть на «9».

9(x2 − x1) > 0 | : 9
9(x2 − x1)
9
>
0
9

При делении нуля на любое число получается ноль.

x2 − x1 > 0
x2 > x1

Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции «x2 > x1». Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.

В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».


Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.

Разбор примера

Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1

По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.

x2 > x1
y( x2 ) > y( x1 )
Обязательное условие возрастания функции

Вместо « y( x1 )» и «y( x2 ) » запишем формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.

y( x2 ) > y( x1 )

13x2 − 1 > 13x1 − 1
13x2 − 13x1 > 1 − 1
13(x2 − x1) > 0 |: 13
13(x2 − x1)
13
>
0
13

x2 − x1 > 0
x2 > x1

Что и требовалось доказать.

Что такое убывание функции

Запомните! !

Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x1 » и « x2 » принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x2 > x1 » выполняется неравенство « y( x2 ) < y( x1 )».

x2 > x1
y( x2 ) < y( x1 )
Обязательное условие убывания функции

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x

По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x » растет, то « y » должен уменьшаться.

Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.

Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа, поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 » и « x = 1 ».

x = 0
y(x) = 1 − 3x
y(0) = 1 − 3 · 0 = 1

(·) А (0; 1)

x = 1
y(1) = 1 − 3x
y(1) = 1 − 3 · 1 = 1 − 3 = −2

(·) B (1; −2)

Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».

график линейной функции y = 1 - 3x

На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении « x » уменьшается
значение « y » .

Как по формуле доказать, что функция убывает

Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».

По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле, что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?

Запомните! !

Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых « x2 > x1 » выполняется
« y( x2 ) < y( x1 ) ».

Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает на всей своей области определения.

x2 > x1
y( x2 ) < y( x1 )
Обязательное условие убывания функции

Подставим « y( x1 )» и «y( x2 ) » в формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.

y( x2 ) < y( x1 )

1 − 3x2 < 1 − 3x1
3x1 − 3x2 < 1 − 1
3(x1 − x2) < 0 | :3
3(x1 − x2)
3
<
0
3

x1 − x2 < 0
−x2 < −x1

Умножим на « −1 » левую и правую часть неравенства. При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на противоположный.

−x2 < −x1 | · (−1)
x2 > x1

Что и требовалось доказать.

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.

Разбор примера

На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Как по графику функции определить возрастает или убывает функция

Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает («спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).

промежутки возрастания и убывания функции

Запишем через знаки неравенств, какие значения принимает « x » на полученных промежутках. Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.

промежутки возрастания и убывания функции через неравенства

Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.

Ответ:

  • функция убывает при
       x ≤ −2;     0 ≤ x ≤ 3,5
  • функция возрастает при
        −2 ≤ x ≤ 0 ;     x ≥ 3,5

Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных математических символов.

Ответ:

  • функция убывает на промежутках     x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
  • функция возрастает на промежутках     x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]

При каких значениях
« m » функция является убывающей или возрастающей

Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких « m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.

Разбор примера

При каких значениях « m » функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?

Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.

x2 > x1
y( x2 ) < y( x1 )
Обязательное условие убывания функции

Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в задаче. Вместо « x » подставим « x1 » и « x2 ».

y( x2 ) < y( x1 )

mx2 − m − 3 + 2x2 < mx1 − m − 3 + 2x1

Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.

mx2 − m − 3 + 2x2 mx1 + m + 3 2x1 < 0

Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.

mx2 − mx1 − m + m − 3 + 3 + 2x2 − 2x1 < 0
mx2 − mx1 + 2x2 − 2x1 < 0

Вынесем общие множители за скобки.

m( x2 − x1) + 2(x2 − x1) < 0

Теперь вынесем общий множитель
« ( x2 − x1 ) ».

( x2 − x1) (m + 2) < 0

Вспомним обязательное условие убывания функции.

x2 > x1
y( x2 ) < y( x1 )
Обязательное условие убывания функции

Преобразуем исходное условие убывания функции « x2 > x1 ». Перенесем все в левую часть.

x2 > x1
x2 − x1 > 0

По условию убывания функции
« x2 − x1 > 0 », значит, чтобы
произведение «( x2 − x1) (m + 2) » было меньше нуля, требуется, чтобы множитель «(m + 2)» был меньше нуля. Так как по правилу знаков: плюс на минус даёт минус.

+ · < 0
(x2 − x1) · (m + 2) < 0

Решим полученное неравенство.

m + 2 < 0
m < −2

Ответ: при «m < −2» функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей.


умножение дробей надпись на парте