Скрыть меню

Думать и творить, творить и думать — вот основа всякой мудрости. Иоганн Вольфганг фон Гёте

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо «a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Примеры:

• 15² − 2² = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a² − 4b²с² = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112².

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
  112 = 100 + 12
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  112² = (100 + 12)²
• Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  112² = (100 + 12)² = 100² + 2 · 100 · 12 + 12² = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с)² = 64a² + 16ac + c²

Предостережение!

(a + b)² не равно (a² + b²)

Квадрат разности

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)² = (b − a)²

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)² = a² −2ab + b² = b² − 2ab + a² = (b − a)²

Куб суммы

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт «a³».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a⁰ = 1, b⁰ = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени «a» и увеличение степени «b». В этом можно убедиться:
  (a + b)³ = a³b⁰ + 3a²b¹ + 3a¹b² + b³a⁰ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Предостережение!

(a + b)³ не равно a³ + b³

Куб разности

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «−». Перед первым членом «a³ » стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «−», затем опять «+» и т.д.

(a − b)³ = + a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
  (a²− ab + b²)
  Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

• a² + 2a + 1 = (a + 1)²
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a²c² − 16b²

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Отправить

---