Скрыть меню

Судить о добродетели человека следует не по его порывам, а по его каждодневным делам.Блез Паскаль

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7» неизвестное «x».

Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что содержит «x» в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

	x = 7 − 5y
	3x − 2y = 4

Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.

	x = 7 − 5y
	3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)» во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение «3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*).

	x = 7 − 5y
	3(7 − 5y) − 2y = 4  (*)

Мы нашли, что «y = 1». Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти «x». Запишем в ответ оба полученных значения.

	x = 7 − 5y
	y = 1

	x = 7 − 5 · 1
	y = 1

	x = 2
	y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

	x + 5y = 7		(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
		+          =>	x + 5y + 3x − 2y = 11
	3x − 2y = 4		4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент «−3».

Для этого умножим первое уравнение на «−3».

	x + 5y = 7 | ·(−3)
	3x − 2y = 4

	x ·(−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)
	3x − 2y = 4

	−3x −15y = −21
	3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

	−3x −15y = −21		(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
		+          =>	−3x −15y + 3x − 2y = −21 + 4
	3x − 2y = 4		−17y = −17 |:(−17)
			y = 1

Мы нашли «y = 1». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое значение и найдем «x».

	x = 7 − 5y
	y = 1

	x = 7 − 5 · 1
	y = 1

	x = 2
	y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

	x − 3y = 17
	x − 2y = −13

Выразим из первого уравнения «x».

	x = 17 + 3y
	x − 2y = −13

Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.

	x = 17 + 3y
	(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и найдем «x».

	x = 17 + 3y
	y = −30

	x = 17 + 3 · (−30)
	y = −30

	x = 17 −90
	y = −30

	x = −73
	y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

	3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)
	4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

	3x − 3y + 5x = 6x − 4
	4x − 2x − 2y = 4 − 3y

	8x − 3y = 6x − 4
	2x −2y = 4 − 3y

	8x − 3y − 6x = −4
	2x −2y + 3y = 4

	2x − 3y = −4
	2x + y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x». Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только «y».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».

	2x − 3y = −4      |·(−1)
	2x + y = 4

	2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)
	2x + y = 4

	−2x + 3y = 4
	2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.

	−2x + 3y = 4		(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
		+          =>	−2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
	2x + y = 4		4y = 8         | :4
			y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и найдем «x».

	−2x + 3y = 4
	y = 2

	−2x + 3 · 2 = 4
	y = 2

	−2x + 6 = 4
	y = 2

	−2x = −2       | :(−2)
	y = 2

	x = 1
	y = 2

Ответ: x = 1; y = 2

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Отправить

---