Карандаш и циркуль за что?! надпись на парте хочу домой надпись на парте штурмовик надпись на парте годзилла надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Умный человек отличается тем, что умеет не понимать.Эдуард Эррио
На главную страницу На главную страницу на главную

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

лупа Скрепки
Поддержать сайтспасибо

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Запомните! !

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

прямая и точки в геометрии

На рисунке изображена прямая a и точки D, F, G и H. Точки F и G лежат на прямой a. Точки D и H не лежат на прямой a.

В тексте точку обозначают символом «(·)». Принадлежность и непринадлежность точки прямой обозначают символами «» и «». Знак принадлежности можно запомнить как зеркальное отображение буквы «Э» или как знак евро «» .

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

  • (·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a);
  • (·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a;
  • (·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a);
  • (·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a.

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

как обозначать прямую
    На рисунке изображены:
  • Прямая a
  • Прямая f
  • Прямая CH
  • Прямая DK
как именуют прямую

Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому: прямая DE, прямая EF и прямая DF — это три разных имени одной и той же прямой.

Разбор примера

Проведите прямую, обозначьте её буквой a и отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и прямой a, используя символы и .


Решение задачи

Проведём прямую.

проведем прямую

Обозначим её буквой a.

назовем прямую a

Отметим точки (·)A и (·)B, лежащие на прямой a.

точки на прямой a

Отметим точки (·)P, (·)Q и (·)R, не лежащие на прямой a.

точки не на прямой а

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

  • (·)A ∈ a
  • (·)B ∈ a
  • (·)P ∉ a
  • (·)Q ∉ a
  • (·)R ∉ a

Задача решена.

Как обозначается пересечение прямых

пересечение прямых

На рисунке прямые a и b не пересекаются. Прямые b и c пересекаются.

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с).

В тексте пересечение прямых обозначают символом . Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом:

  • b ∩ c — прямые b и с пересекаются;
  • a ∩ c — прямые a и с пересекаются.
общие точки прямых

Прямые e и g имеют общую точку M. Другими словами, прямые пересекаются в точке M. Геометрическими обозначениями пересечение прямых в точке записывается так:
e ∩ g = (·)M

прямые не пересекаются

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Запомните! !

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

через две точки можно провести прямую и притом только одну

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Запомните! !

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

нет общих точек у прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

одна общая точка у прямых

Возможен вариант, что прямые f и e пересекаются и, значит, имеют одну общую точку (·)M.

Третий случай расположения прямых

через две точки только одну прямую можно провести

Предположим, что прямые f и e имеют две или больше общих точек. Например, точки (·)A и (·)B.

Но мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Значит, прямые f и e совпадают и наше предположение, что у двух прямых может быть две или более общих точек неверно.

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Разбор примера

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

пересечение двух прямых

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

пересечение трех прямых

Теперь прямая a пересекается с прямой b, прямая b пересекается с прямой c и прямая c пересекается с прямой a.

В этом случае у нас только одна точка пересечения всех прямых — точка (·)D.

Но возможен и другой вариант. Мы можем провести третью прямую c так, чтобы она не проходила через точку (·)D. Тогда получится три точки пересечения — (·)D, (·)E и (·)F.

пересечение трех прямых с тремя точками пересечения

Прямая a пересекается с прямой b в точке (·)D, прямая b пересекается с прямой c в точке (·)F и прямая c пересекается с прямой a в точке (·)E. Условие задачи выполнено.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Запомните! !

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

что такое отрезок

Две точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. У отрезка на рисунке выше концы называются S и T.

Сам отрезок можно назвать ST или TS. Когда изображают отрезок, оставшиеся от прямой хвосты можно не рисовать.

пример отрезка

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.



Ваши комментарии

Важно! Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

Отправить
11 июля 2018 в 19:19
Тимофей Программист (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Тимофей Программист
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Диагональ AC параллелограмма ABCD является диаметром окружности, которая делит отрезки AD и CD в точках E и F соответственно. CF = 11. FD = 5. AE:ED = 1:4. Найти площадь данного параллелограмма.
0 Спасибоthanks Ответить
13 июля 2018 в 1:01
Ответ для Тимофей Программист
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
S =  80√15
0 Спасибоthanks Ответить
3 октября 2016 в 20:57
Ольга Смирнова (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Ольга Смирнова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
На плоскости проведены четыре прямые и отмечены точки, в которых эти прямые попарно пересекаются. Какое наибольшее число таких точек могло получиться?
0 Спасибоthanks Ответить
5 октября 2016 в 19:08
Ответ для Ольга Смирнова
Никита Фролов (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Никита Фролов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
наибольшее число точек пересечения-5 cool
0 Спасибоthanks Ответить
7 октября 2016 в 19:14
Ответ для Ольга Смирнова
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Максимум 6 точек.
Вообще, для N прямых наибольшее число точек пересечения равно 
 N(N ? 1)
 2
.
Никита не прав.
0 Спасибоthanks Ответить
7 октября 2016 в 19:15
Ответ для Ольга Смирнова
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Это не верно.
0 Спасибоthanks Ответить
6 июля 2016 в 18:28
Ирина Поджарова (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
(^-^) Ирина Поджарова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
В равнобедренном треугольнике высота равна 45 см, а основание относится к боковой стороне как 4:3. Найти радиус вписанного круга.

0 Спасибоthanks Ответить
7 июля 2016 в 8:45
Ответ для Ирина Поджарова
Евгений Колосов (^-^) Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
(^-^) Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Для решения задачи воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник:
r=
b
2
  · ?
(2a-b)
(2a+b
0 Спасибоthanks Ответить
7 июля 2016 в 8:53
Ответ для Ирина Поджарова
Евгений Колосов (^-^) Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
(^-^) Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
, где a — сторона треугольника, b-основание.
Необходимо найти a и b. 
Высота в равнобедренном треугольнике вычисляется по формуле: 
h=?(a2
b2
4
). из условия видно, что b=
4
3
0 Спасибоthanks Ответить
7 июля 2016 в 8:55
Ответ для Ирина Поджарова
Евгений Колосов (^-^) Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
(^-^) Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
b=4a/3. Знаем, что h=45, можем вычислить длину основания. Зная длину основания можем вычислить длину стороны. Сзная длину стороны и основания можем вычислить радиус вписанной окружности. Дальше-дело техники. Удачи.

P.S. Прошу прощения, что много сообщений, какие то проблемы с браузером.
0 Спасибоthanks Ответить
9 июля 2016 в 7:28
Ответ для Ирина Поджарова
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
(3x)2 = (2x)2 + 452
x2 = 405.
(45 ? r)2 = r2 + x2
r = 18.
0 Спасибоthanks Ответить
19 мая 2016 в 23:29
Иван Черновалов (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Иван Черновалов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Провести касательные к элипсу 
 x2
169 
 +
y2 
 25
 = 1 которые параллельны прямой 2x-y+17=0 (ответ 12x-13y+-169=0)
0 Спасибоthanks Ответить
7 июня 2016 в 2:23
Ответ для Иван Черновалов
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Касательные имеют вид  2x — y + c = o.
Параметр с находим из условия, что уравнение 
 x2
 169
  + 
(2x + c)2 
25 
  = 1 имеет 1 корень.
0 Спасибоthanks Ответить
26 января 2016 в 19:47
Ян Кифа (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Ян Кифа
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
незнайка начертил 3 прямые линии на каждой из них поставил 3 точки всего он поставил 6 точек начерти как он это зделал
0 Спасибоthanks Ответить
31 января 2016 в 18:36
Ответ для Ян Кифа
Roma Bobrov (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Roma Bobrov
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
.-----.
.-----.
.-----.

0 Спасибоthanks Ответить
19 сентября 2016 в 10:53
Ответ для Ян Кифа
Евгений Колосов (^-^) Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
(^-^) Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Две линии просто пересекаются. третья линия пересекает две линии вертикально. Точки стоят на пересечениях и по одной на каждой линии.
0 Спасибоthanks Ответить
19 ноября 2015 в 18:19
Анна Вопилова (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Анна Вопилова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 45 и периметром P = 4(1 + ? 2) имеет наибольшую площадь?
0 Спасибоthanks Ответить
8 июня 2016 в 21:52
Ответ для Анна Вопилова
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
2.
0 Спасибоthanks Ответить
22 августа 2015 в 15:21
Мария Кузнецова (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 3
(^-^) Мария Кузнецова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Всем снова привет)
Еще не могу разобраться в такой задаче:

Длина одной стороны четырёхугольника составляет 3/11 его периметра, длина другой — 4/11, а сумма равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника.

Это 1731 из виленкина 5 класс, если что!
0 Спасибоthanks Ответить
22 августа 2015 в 15:42
Ответ для Мария Кузнецова
Борис Гуров (^-^) Профиль Благодарили: 4
Сообщений: 32
(^-^) Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 4
Сообщений: 32
Здравствуй, Мария.

Прежде чем приступить к решению задачи ВНИМАТЕЛЬНО прочитаем условие задачи и подчеркнём в условии все важные данные.

В этой задаче важно заметить, что в условии говорится не о прямоугольнике, а о четырёхугольнике.

Поэтому мы не можем пользоваться формулой нахождения периметра прямоугольника:

P = 2(a + b)

Запишем условие задачи в краткой записи, где a,b — стороны четырёхугольника, P — периметр.

№ 1731

Дано:

a = 3/11 · P 
b = 4/11 · P
a + b = 28 (cm)

P = ?

Решение:


Прежде всего вспомним, что если в условии записано «составляет от» чего-то, значит это математически записывается через умножение:

Решение номера 1731 Виленкин.

Также находим b:

Находим сторону прямоугольника

Подставим эти значения в выражение:

Подстваляем значения в выражения

У нас получилось уравнение с одним неизвестным. Обе дроби с одинаковыми знаменателями, поэтому сложить их для нас не составит труда. (Если вы не помните как правильно складывать дроби, освежить свои знания можно в уроке: "Сложение дробей".)

Решение уравнения в 1731 номере

Чтобы найти «P» вспомним правило: «Чтобы найти неизвестный множитель надо произведение разделить на известный множитель.»

Находим периметр

Разделим дроби по правилам деления дробей.

Делим дроби в решении

Ответ: периметр равен 44 см


Кратко оформить задачу можно следующим образом.

№ 1731

Дано:

a = 3/11 · P 
b = 4/11 · P
a + b = 28 (cm)

P = ?

Решение:


Условие задачи Виленикин 5 класс

Ответ: P = 44 см

0 Спасибоthanks Ответить
13 июля 2015 в 14:25
Денис Кежватов (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Денис Кежватов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Сколько равносторонних треугольников
умещается внутри окружности, если стороны треугольников равны радиусу окружности?
0 Спасибоthanks Ответить
31 августа 2016 в 10:15
Ответ для Денис Кежватов
Евгений Колосов (^-^) Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
(^-^) Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Вспомним свойство равностороннего треугольника: углы при каждом из оснований равны между собой и равны 60°.
Окружность равна 360°. Значит 360°/60° = 6.

Ответ 6 равносторонних треугольников умещается внутри окружности, если стороны треугольников равны радиусу этой окружности.

Если нарисовать это на бумаге, становится гораздо понятнее и очевиднее.
0 Спасибоthanks Ответить

годзилла надпись на парте