Карандаш и циркуль umbrella надпись люблю себя надпись на парте символ дедпула возведение степени в степень

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Умный человек создаёт больше возможностей, чем находит. Фрэнсис Бэкон
На главную страницу На главную страницу на главную

Квадратный корень из произведения

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо
Запомните! !

Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

a · b = a · b

Свойство действует и в обратную сторону: произведение корней равно корню из произведения этих множителей.

a · b = a · b

Как найти квадратный корень из произведения

Алимов 9 класс № 340 (1, 4)

Вычислить:
1) 49 · 25 = 49 · 25 = 7 · 5 = 35

4)256 · 0,25 · 81 =
= 256 · 0,25 · 81 =
= 16 · 0,25 · 81 = …

Вспомнить порядок извлечения квадратного корня из десятичной дроби 0,25 можно в уроке «Что такое квадратный корень», а правила умножения десятичных дробей в уроке «Умножение десятичных дробей».

256 · 0,25 · 81 = 256 · 0,25 · 81 =
= 16 · 0,25 · 81 = 16 · 0,5 · 9 =
= 8 · 9 = 72

Алимов 9 класс № 343 (2, 5)

Вычислить:
2) 10 · 90 = …

Используем для решения обратное свойство квадратного корня из произведения.

a · b = a · b

10 · 90 = 10 · 90 = 900 = 30

5)
символ квадратного корня
1
2
  ·
символ квадратного корня
2
3
  · 3 =
символ квадратного корня
1
2
 · 
2
3
 ·  3
= …

Для дальнейшего решения применим правила умножения обыкновенных дробей.

символ квадратного корня
1
2
  ·
символ квадратного корня
2
3
  · 3 =
=
символ квадратного корня
1
2
 · 
2
3
 ·  3
=
символ квадратного корня
1
2
 · 
2
3
 · 
3
1
=
=
символ квадратного корня
1 · 2 · 3
2 · 3 · 1
= …

Сократим полученную дробь под корнем.

… =
символ квадратного корня
1 · 2 · 3
2 · 3 · 1
=
символ квадратного корня
1 · 2 · 3
2 · 3 · 1
= 1 = 1

Квадратный корень из единицы равен единице 1 = 1.


Внимание: частая ошибка!
Неправильное использование квадратного корня из произведения

Запомните! !

Важно запомнить следующее правило: свойство квадратного корня из произведения можно применять, только если под корнем действие умножения.

a · b = a · b    — верно

Если под корнем есть сумма и (или) вычитание, то применять формулу НЕЛЬЗЯ!

a + b a + b    — неверно

a b a b    — неверно

Разберёмся по традиции на примере. Требуется вычислить.

82 2 − 18 2 = …

После изучения формулы корня из произведения первым желанием является сделать так:

82 2 − 18 2 82 218 2    — неверно

Это неверно. Свойство
   «a · b = a · b »    НЕЛЬЗЯ использовать в данном примере, т.к. под корнем есть знак вычитания «», т.е. действие вычитания.

Выполним последовательно действия под корнем и вычислим из полученного результата квадратный корень.

82 2 − 18 2 = 6724 − 324 = 6400 =
= 80

Подобные примеры можно решать другим способом через формулу разности квадратов.

(a2 − b2) = (a − b)(a + b)

82 2 − 18 2 = (82 − 18)(82 + 18) =
= 64 · 100 = …

Обратите внимание, что сейчас под знаком корня осталось только произведение. Следовательно, мы можем применить свойство корня из произведения.

a · b = a · b

82 2 − 18 2 = (82 − 18)(82 + 18) =
= 64 · 100 = 64 · 100 = 8 · 10 = 80

Мы получили такой же результат, как и в первом варианте решения.

Алимов 9 класс № 340 (2)

2) 0,01 · 169 = 0,01 · 169 =
= 0,01 · 13 = …

Снова требуется вспомнить правило извлечения квадратного корня из десятичной дроби и умножение десятичных дробей.

0,01 · 169 = 0,01 · 169 =
= 0,01 · 13 = 0,1 · 13 = 1,3

Алимов 9 класс № 343 (6)

6)
символ квадратного корня
2
5
  ·
символ квадратного корня
5
7
  ·
символ квадратного корня
7
8
=
=
символ квадратного корня
2
5
 · 
5
7
 · 
7
8
=
символ квадратного корня
2 · 5 · 7
5 · 7 · 8
=
=
символ квадратного корня
2 · 5 · 7
5 · 7 · 84
=
символ квадратного корня
1
4
=
1
2

Алимов 9 класс № 346 (1, 4)

1) (8 + 2)2 = …

Для решения примера используем формулу квадрат суммы.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(8 + 2)2 =
= (8)2 + 2 · 8 · 2 + (2)2 =
= 8 + 2 · 8 · 2 + 2 = 10 + 2 · 16 =
= 10 + 2 · 4 = 10 + 8 = 18

4) (52 + 25)(52 − 25) = …

Обратите внимание, произведение в скобках похоже на формулу «Разность квадратов» в обратном порядке.

(a2 − b2) = (a − b)(a + b)
(a − b)(a + b) = (a2 − b2)

Действительно, если заменить в формуле «a» на «52» и «b» на «25», то получится формула сокращенного умножения «Разность квадратов».

(ab)(a + b) = (a2b2)

(52 + 25)(5225) =
= (52)2 − (25)2 = …

Используем свойство «Степень произведения».

(a · b)2 = a2 · b2

(52 + 25)(52 − 25) =
= (52)2 − (25)2 =
= 52 · (2)2 − 22 · (5)2 =
= 25 · 2 − 4 · 5 = 50 − 20 = 30