Скрыть меню

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Иррациональные числа

Алгебра 11 класс

Факториал

Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математическое доказательство. Леонардо да Винчи

на главную

Как вынести из-под корня

Поддержать сайт

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня

Важно!

Вынесение множителя из-под знака корня — это извлечение корня из одного из множителей (числа или буквы), которые находятся под корнем.

√25 · 3 = 5√3

Говорят: «Число «25» вынесли из-под знака корня».

Рассмотрим подробнее пример вынесения множителя из-под знака корня.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√16 · 5;

Используем свойство квадратного корня из произведения.

√a · b = √a · √b

√16 · 5 = √16 · √5 = …

Извлечь квадратный корень из «√5» целым числом не получится, поэтому нам остается только извлечь квадратный корень из «√16».

Важно!

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от «1» до «15» и таблицу часто используемых квадратных корней.

Вспомним, чему равен квадрат числа четыре?

4² = 16

Значит:

√16 = 4

Решение примера выше записываем следующим образом.

√16 · 5 = √16 · √5 = 4 · √5

Действие выше называют вынесением множителя из-под знака корня. Говорят: «Число «16» вынесли из-под знака корня, получив число «4».

Запомните!

Выносить из-под знака корня можно, только если все действия под знаком корня — умножение.

Примеры правильного и неправильного вынесения из-под знака корня:

√144 · 2 = √144 · √2 = 12√2 (верно). Под знаком квадратного корня только действие умножения;
√16 + 5 ≠ 4 + √5 (неверно). Нельзя выносить «16» из-под знака корня, так как под знаком корня сложение;
√25 − 3 ≠ 5 − √3 (неверно). Нельзя выносить из-под знака корня «25», так как под знаком корня вычитание;
√16 ·2 + 3 ≠ 4√2 + 3 (неверно). Нельзя выносить «16» из-под знака корня, так как под знаком корня есть сложение (должно быть только умножение).

Как вынести множитель из корня с одним числом

Рассмотрим пример, когда под корнем только одно число и по условию задания требуется вынести множитель из-под знака корня.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√8;

Извлечь целое число из квадратного корня «√8» нельзя, так как нет такого целого числа, которое в квадрате давало бы «8».

Важно!

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от «1» до «15» и таблицу часто используемых квадратных корней.

Подумаем, на какие множители можно разложить число «8», чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака корня. Вспоминаем таблицу умножения.

Число «8» — это произведение
«8 = 4 · 2». Теперь можем вынести «4» из-под знака корня.

√8 = √4 · 2 = √4 · √2= 2√2

Разберем другие примеры вынесения множителя из-под знака квадратного корня

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√54;

Зададим себе вопрос: «На какие множители нужно разложить «54», чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака квадратного корня?».

Вспоминаем таблицу умножения.

54 = 9 · 6

Видим число «9». Подходит, так как «√9 = 3».

√54 = √9 · 6 = …

Завершим решение примера вынесением из-под знака корня числа «9».

√54 = √9 · 6 = 3√6

Извлечь «√6» целым числом невозможно. Поэтому ответ оставляем в таком виде.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√490;

В примерах с числами, которые делятся на «10, 100, 1000…» и так далее, стоит сразу попробовать разложить число на «10, 100, 1000…» и второй множитель.

То есть число «490» можно разложить на «490 = 49 · 10». Из «49» можно извлечь квадратный корень.

√490 = √49 · 10 = …

Теперь можно вынести «49» из-под знака корня.

√490 = √49 · 10 = 7√10

Разбор примера

√500 = √5 · 100 = 10 √5

Разбор примера

√108 = √54 · 2 = √9 · 6 · 2 =

= 3√6 · 2 = 3√12 = 3√4 · 3 =

= 3 · 2√3 = 6√3

Разбор примера

0,4 · √250 = 0,4 · √25 · 10 =

= 0,4 · 5 √10 = …

Завершим пример, умножив десятичную дробь «0,4» на «5» по правилу умножения десятичной дроби на число.

0,4 · √250 = 0,4 · √25 · 10 =

= 0,4 · 5 √10 = 2√10

Разбор примера

· √63 =

· √9 · 7 =

· 3 √7 = …

Умножим дробь «

» на число «3», которое вынесли из-под знака квадратного корня. Используем правило умножения обыкновенной дроби на число.

· √63 =

· √9 · 7 =

· 3 √7 =

=

4 · 3

· √7 =

4 · 3

9₃

· √7 =

=

· √7 = …

Чтобы дать окончательный ответ, выделим целую часть неправильной дроби «

».

· √63 =

· √9 · 7 =

· 3 √7 =

=

4 · 3

· √7 =

4 · 3

9₃

· √7 =

· √7 =

= 1

· √7

Как вынести десятичную дробь из-под знака корня

В уроке «Как извлечь квадратный корень из дроби» мы разбирали, каким образом извлечь квадратный корень из десятичной дроби. Например, извлечение квадратного корня из десятичной дроби «√0,25».

√0,25 = 0,5 , так как
0,5² = 0,5 · 0,5 = 0,25

Тот же самый метод используется при вынесении десятичной дроби из-под знака корня.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√0,48;

Разложим десятичную дробь на произведение множителей, чтобы потом была возможность вынести один из множителей из-под знака корня.

Подберем десятичную дробь, на которую делится «0,48», из которой потом можно извлечь квадратный корень.

Например, «0,16». Десятичная дробь «0,48» делится на «0,16» нацело.

0,48 : 0,16 = 3

Извлечь квадратный корень из «√0,16» по правилу нахождения квадратного корня из десятичной дроби.

√0,16 = 0,4 , так как
0,4² = 0,4 · 0,4 = 0,16

Завершим пример вынесением «0,16» из-под знака корня.

√0,48 = √0,16 · 3 = 0,4 √3

Примеры вынесения десятичной дроби из-под знака квадратного корня

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

√0,72 = √0,36 · 2 = 0,6 √2

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

−2 · √0,18 = −2 · √0,09 · 2 =

= −2 · 0,3 √2 = −0,6 √2

Как вынести букву из-под знака корня

Запомните!

При вынесении из-под знака квадратного корня множителя в степени (буквы или числа) степень делится на «2».

√a² = a^{2
2} = a¹ = a , гдe a ≥ 0
√y⁴ = y^{4
2} = y² , гдe y ≥ 0
√12⁴ = 12^{4
2} = 12² = 144
√x⁶ = x^{6
2} = x³ , гдe x ≥ 0

Рассмотрим примеры вынесения буквы в степени из-под корня.

Разбор примера

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

2) √2x² = x^{2
2}√2 = x√2

4) √3a⁶ = a^{6
2}√3 = a³√3

В более сложных примерах требуется вынести и числовой множитель, и букву в степени из-под корня.

Разбор примера

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

√75a²;

Вначале отдельно вынесем буквенный множитель из-под корня.

√75a² = a^{2
2} · √75 = a√75 = …

Теперь разложим число «75» на множители, один из которых можно вынести из-под знака квадратного корня.

Число «75» явно делится на «5». Проверим, можно ли число «75» разложить на квадрат числа «5² = 25».

75 : 25 = 3

Завершим пример, вынеся число «25» из-под знака корня.

√75a² = a^{2
2} · √75 = a√75 =

= a√25 · 3 = 5a√3

Разбор примера

√y⁹;

Не всегда удается сразу вынести букву в степени из-под знака корня. В данном примере степень «9» не делится нацело на «2».

Вспомним из урока «Свойства степени» правило произведение степеней с одинаковым основанием.

a^m · aⁿ = a ^{m + n}

Свойство работает и в обратную сторону.

a ^{m + n} = a^m · aⁿ

Вернемся к нашему примеру. Разложим «y⁹» на множители со степенями так, чтобы одна из степеней нацело делилась на «2». Представим степень «9» как сумму чисел «9 = 6 + 3».

√y⁹ = √y^{6 + 3} = …

Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием в обратную сторону и разложим «у» на множители.

√y⁹ = √y^{6 + 3} = √y⁶ · y³ = …

Вынесем «y⁶» из-под знака корня.