Карандаш и циркуль панк бендер рисунок на парте типа крутой надпись на парте загадочный тоби на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями мысли, а не памятью. Л.Н. Толстой
На главную страницу На главную страницу на главную

Отрицательная степень

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо

Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».

Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.

Как возвести число в отрицательную степень

Запомните! !

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

  • «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
  • заменить отрицательную степень на положительную;
  • возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

a−n =
1
an
,где a ≠ 0, n ∈ z (n принадлежит целым числам).

Примеры возведения в отрицательную степень.

  • 6−2 =
    1
    62
    =
    1
    36
  • (−3)−3 =
    1
    (−3)3
    =
    1
    −27
    =
    1
    27
  • 0,2−2 =
    1
    0,22
    =
    1
    0,04
Запомните! !

Любое число в нулевой степени — единица.

a0 = 1 ,где a ≠ 0

Примеры возведения в нулевую степень.

  • (
    2
    3
    )0 = 1
  • (−5)0 = 1

  • d0 = 1

Как найти 10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

10−1 = 0,1

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему «10» в минус первой степени равно «0,1».

Возведем «10−1» по правилам отрицательной степени. Перевернем «10» и запишем её в виде дроби «
1
10
» и заменим отрицательную степень «−1» на
положительную степень «1».
10−1 =
1
101

Возведем «10» в «1» степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

10−1 =
1
101
=
1
10

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

10−1 =
1
101
=
1
10
= 0,1

По такому же принципу можно найти «10» в минус второй, третьей и т.д.

10−2 = 0,01

10−3 = 0,001

10−4 = 0,0001
Запомните! !

Для упрощения перевода «10» в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один».

Проверим правило выше для «10−2».

Т.к. у нас степень «−2», значит, будет всего один ноль (положительное значение степени «2 − 1 = 1». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним «1».

10−2 = 0,01

Рассмотрим «10−1».

Т.к. у нас степень «−1», значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени «1 − 1 = 0». Сразу после запятой ставим «1».

10−1 = 0,1

То же самое правило работает и для «10−12». При переводе в десятичную дробь будет «12 − 1 = 11 » нулей и «1» в конце.

10−12 = 0,000 000 000 001

Как возвести в отрицательную степень дробь

Запомните! !

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

  • «перевернуть» дробь;
  • заменить отрицательную степень на положительную;
  • возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

(
10
3
)−3 =
Перевернем дробь «
10
3
» и заменим отрицательную степень «−3» на положительную «3».
(
10
3
)−3 = (
3
10
)3

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель «3», и знаменатель «10» в третью степень.

(
10
3
)−3 = (
3
10
)3 =
33
103
=
27
1000

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

(
10
3
)−3 = (
3
10
)3 =
33
103
=
27
1000
= 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Запомните! !

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное.

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное.

Пример.

(−5) −2 =

Перевернем число «−5» и заменим отрицательную степень «−2»
на положительную «2».

(−5) −2 = (−
1
5
) 2 =

Так как степень «2» — четная, значит, результат возведения в степень будет положительный. Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель «1»,
и знаменатель «5».

(−5) −2 = (−
1
5
) 2 =
12
52
=
1
25

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Запомните! !

Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная.

Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная.

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь «(−
2
3
)
» в «−3» степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень «−3» на положительную «3».

(−
2
3
) −3 = (−
3
2
) 3 =

Теперь определим конечный знак результата возведения в «3» степень.

Степень «3» — нечетная, значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной.

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель «3», и знаменатель «2» в третью степень.

(−
2
3
) −3 = (−
3
2
) 3 =
33
23
=
27
8

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

(−
2
3
) −3 = (−
3
2
) 3 =
33
23
=
27
8
= 3
3
4

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная, значит, результат возведения будет положительным.

(−
9
11
) −2 = (−
11
9
) 2 =
112
92
=
121
81
= 1
40
81

Свойства отрицательной степени

Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.

В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.

Запомните! !
  • am · an = am + n

  • am
    an
    = am n

  • (an)m = an · m

  • (a · b)n = an · bn

Примеры решений заданий с отрицательной
степенью

Колягин 9 класс. Задание № 1

Представить в виде степени.

2) a6 · b6 = (ab)6

4) (c5)2 = c10

Колягин 9 класс. Задание № 5

Записать в виде степени с отрицательным числом.

1)
1
45
= 4−5
2)
1
a9
= a−9

Колягин 9 класс. Задание № 11

Вычислить.

3)   (
2
13
) −12 : (
2
13
) 2 = (
13
2
) 12 · (
2
13
) 2 = (
13
2
) 12 · (
2
13
) 2 =
1312
212
·
22
132
=
1312 · 22
212 · 132
=
=
1312 · 22
132 · 212
=
1312
132
·
22
212
= 1312 − 2 · 22 − 12 = 1310 · 2−10 = 1310 ·
1
210
=
1310 · 1
210
=
=
1310
210
= (
13
2
) 10

Колягин 9 класс. Задание № 14

Выполнить действия.

3) (
2x6
3y−4
) 2 =
22x6 · 2
32y−4 · 2
=
4x12
9y−8