Скрыть меню

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Иррациональные числа

Алгебра 11 класс

Факториал

Лень закаляет характер, если вспомнить, сколько требуется усилий, чтобы её побороть. Тристан Бернар

на главную

Свойства степени

Поддержать сайт

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

Что такое степень числа Свойства степени Возведение в степень дроби

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a^m · aⁿ = a^{m + n}, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Примеры.

Упростить выражение.
b · b² · b³ · b⁴ · b⁵ = b ^{1 + 2 + 3 + 4 + 5} = b¹⁵
Представить в виде степени.
6¹⁵ · 36 = 6¹⁵ · 6² = 6¹⁵ · 6² = 6¹⁷
Представить в виде степени.
(0,8)³ · (0,8)¹² = (0,8)^{3 + 12} = (0,8)¹⁵

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3³ + 3²) на 3⁵. Это понятно, если
посчитать (3³ + 3²) = (27 + 9) = 36 , а 3⁵ = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a^m

aⁿ

= a^{m − n}, где «a» — любое число, не равное нулю, а «m», «n» — любые натуральные числа такие, что «m > n».

Примеры.

Записать частное в виде степени
(2b)⁵ : (2b)³ = (2b)^{5 − 3} = (2b)²
Вычислить.
11³ · 4 ²
11² · 4
= 11^{3 − 2} · 4 ^{2 − 1} = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3⁸ : t = 3⁴

t = 3⁸ : 3⁴

t = 3^{8 − 4}

t = 3⁴

Ответ: t = 3⁴ = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Пример. Упростить выражение.
4^{5m + 6} · 4^{m + 2} : 4^{4m + 3} = 4^{5m + 6 + m + 2} : 4^{4m + 3} = 4^{6m + 8 − 4m − 3} = 4^{2m + 5}
Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

512 · 4
32
=
512 · 4
32
=
2⁹ · 2²
2⁵
=
2^{9 + 2}
2⁵
=
2¹¹
2⁵
= 2^{11 − 5} = 2 ⁶ = 64

Важно!

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4³ −4²) на 4¹. Это понятно, если посчитать (4³ −4²) = (64 − 16) = 48, а 4¹ = 4

Будьте внимательны!

Свойство № 3
Возведение степени в степень

Запомните!

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(aⁿ)^m = a^{n · m}, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Пример.
(a⁴)⁶ = a^{4 · 6} = a²⁴
Пример. Представить 3²⁰ в виде степени с основанием 3².

По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Свойства 4
Степень произведения

Запомните!

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ, где «a», «b» — любые рациональные числа; «n» — любое натуральное число.

Пример 1.
(6 · a² · b³ · c )² = 6² · a^{2 · 2} · b^{3 · 2} · с ^{1 · 2} = 36 a⁴ · b⁶ · с ²
Пример 2.
(−x² · y)⁶ = ( (−1)⁶ · x^{2 · 6} · y^{1 · 6}) = x¹² · y⁶

Важно!

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(aⁿ · bⁿ)= (a · b) ⁿ

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Пример. Вычислить.
2⁴ · 5⁴ = (2 · 5)⁴ = 10⁴ = 10 000
Пример. Вычислить.
0,5¹⁶ · 2¹⁶ = (0,5 · 2)¹⁶ = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 4⁵ · 3² = 4³ · 4² · 3² = 4³ · (4 · 3)² = 64 · 12² = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

4²¹ · (−0,25)²⁰ = 4 · 4 ²⁰ · (−0,25) ²⁰ = 4 · (4 · (−0,25))²⁰ = 4 · (−1)²⁰ = 4 · 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)

Запомните!

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, где «a», «b» — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
(5 : 3)¹² = 5¹² : 3¹²

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.