Скрыть меню

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Иррациональные числа

Алгебра 11 класс

Факториал

Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математическое доказательство. Леонардо да Винчи

на главную

Возрастание и убывание функции

Поддержать сайт

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

Что такое возрастание функции

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Запомните!

Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если
для любых « x₁ » и « x₂ » принадлежащих данному промежутку, таких, что « x₂ > x₁ » выполняется неравенство
« y( x₂ ) > y( x₁ )».

Определение сложно понять без наглядного примера. Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x » соответствует бóльшее значение « y », значит, функция « y(x) » возрастает.

x₂ > x₁
y( x₂ ) > y( x₁ )

Обязательное условие возрастания функции

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

Разбор примера

Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?

Для начала определим область определения функции « y = 9x − 4 ».

y = 9x − 4
D(y): x ∈ R ,
то есть « x » — любое действительное число.

Построим график функции
« y = 9x − 4 ». Так как функция
« y = 9x − 4 » линейная, ее график — прямая.

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа, поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».

x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4

Для второй точки возьмем « x = 1 ».

x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5

Отметим две полученные
точки «(0; −4)» и «(1; 5)» на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Докажем, что функция « y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и аналитически (по ее формуле).

Как определить по графику, что функция возрастает

По определению возрастания функции мы знаем, что если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.

На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 » «идет в гору». Другими словами, при увеличении « x » ↑ растет значение « y » ↑.

В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».

У первой точки « (·)A » координаты:
x₁ = 0 ; y₁ = − 4

У второй точки « (·)B » координаты:
x₂ = 1 ; y₂ = 5

На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что при увеличении
« x ↑ ( x₂ > x₁ )» растет
« y ↑ ( y₂ > y₁ ) ». Поэтому график зрительно «идет в гору».

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».

По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает, так как ее график «идет в гору». Но как доказать по формуле, что функция возрастает на всей своей области определения?

Запомните!

Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x₂ > x₁ »
выполняется условие
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при « x₂ > x₁ » увеличивается значение функции
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Но как нам найти значения функции
« y( x₁ )» и «y( x₂ ) »?

Для нахождения « y( x₁ )» и «y( x₂ ) » достаточно подставить « x₁ » и « x₂ » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».

y( x₁ ) = 9x₁ − 4
y( x₂ ) = 9x₂ − 4

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

x₂ > x₁
y( x₂ ) > y( x₁ )

Обязательное условие возрастания функции

Подставим в неравенство
« y( x₂ ) > y( x₁ ) » полученные формулы
« y( x₁ ) = 9x₁ − 4» и
« y( x₂ ) = 9x₂ − 4 » .

y( x₂ ) > y( x₁ )
9x₂ − 4 > 9x₁ − 4

Упростим полученное неравенство.

9x₂ − 9x₁ > − 4 + 4
9x₂ − 9x₁ > 0

Вынесем общий множитель в левой части неравенства.

9(x₂ − x₁) > 0

Разделим левую и правую часть на «9».

9(x₂ − x₁) > 0 | : 9

9(x₂ − x₁)

При делении нуля на любое число получается ноль.

x₂ − x₁ > 0
x₂ > x₁

Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции «x₂ > x₁». Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.

В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».

Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.

Разбор примера

Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1

По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.

x₂ > x₁
y( x₂ ) > y( x₁ )

Обязательное условие возрастания функции

Вместо « y( x₁ )» и «y( x₂ ) » запишем формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.

y( x₂ ) > y( x₁ )

13x₂ − 1 > 13x₁ − 1
13x₂ − 13x₁ > 1 − 1
13(x₂ − x₁) > 0 |: 13

13(x₂ − x₁)

x₂ − x₁ > 0
x₂ > x₁

Что и требовалось доказать.

Что такое убывание функции

Запомните!

Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x₁ » и « x₂ » принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x₂ > x₁ » выполняется неравенство « y( x₂ ) < y( x₁ )».

x₂ > x₁
y( x₂ ) < y( x₁ )

Обязательное условие убывания функции

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x

По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x » ↑ растет, то « y » ↓ должен уменьшаться.

Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.

Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа, поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 » и « x = 1 ».

x = 0
y(x) = 1 − 3x
y(0) = 1 − 3 · 0 = 1

(·) А (0; 1)

x = 1
y(1) = 1 − 3x
y(1) = 1 − 3 · 1 = 1 − 3 = −2

(·) B (1; −2)

Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».

На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении « x » ↑ уменьшается
значение « y » ↓.

Как по формуле доказать, что функция убывает

Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».

По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле, что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?

Запомните!

Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых « x₂ > x₁ » выполняется
« y( x₂ ) < y( x₁ ) ».

Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает на всей своей области определения.

x₂ > x₁
y( x₂ ) < y( x₁ )

Обязательное условие убывания функции

Подставим « y( x₁ )» и «y( x₂ ) » в формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.

y( x₂ ) < y( x₁ )

1 − 3x₂ < 1 − 3x₁
3x₁ − 3x₂ < 1 − 1
3(x₁ − x₂) < 0 | :3

3(x₁ − x₂)

x₁ − x₂ < 0
−x₂ < −x₁

Умножим на « −1 » левую и правую часть неравенства. При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на противоположный.

−x₂ < −x₁ | · (−1)
x₂ > x₁

Что и требовалось доказать.

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.

Разбор примера

На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Как по графику функции определить возрастает или убывает функция

Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает («спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).

промежутки возрастания и убывания функции

Запишем через знаки неравенств, какие значения принимает « x » на полученных промежутках. Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.

промежутки возрастания и убывания функции через неравенства

Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.

Ответ:

функция убывает при
x ≤ −2; 0 ≤ x ≤ 3,5
функция возрастает при
−2 ≤ x ≤ 0 ; x ≥ 3,5

Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных математических символов.

Ответ:

функция убывает на промежутках x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
функция возрастает на промежутках x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]

При каких значениях
« m » функция является убывающей или возрастающей

Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких « m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.

Разбор примера

При каких значениях « m » функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?

Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.

x₂ > x₁
y( x₂ ) < y( x₁ )

Обязательное условие убывания функции

Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в задаче. Вместо « x » подставим « x₁ » и « x₂ ».

y( x₂ ) < y( x₁ )

mx₂ − m − 3 + 2x₂ < mx₁ − m − 3 + 2x₁

Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.

mx₂ − m − 3 + 2x₂ − mx₁ + m + 3 − 2x₁ < 0

Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.

mx₂ − mx₁ − m + m − 3 + 3 + 2x₂ − 2x₁ < 0
mx₂ − mx₁ + 2x₂ − 2x₁ < 0

Вынесем общие множители за скобки.

m( x₂ − x₁) + 2(x₂ − x₁) < 0

Теперь вынесем общий множитель
« ( x₂ − x₁ ) ».

( x₂ − x₁) (m + 2) < 0

Вспомним обязательное условие убывания функции.

x₂ > x₁
y( x₂ ) < y( x₁ )

Обязательное условие убывания функции

Преобразуем исходное условие убывания функции « x₂ > x₁ ». Перенесем все в левую часть.

x₂ > x₁
x₂ − x₁ > 0

По условию убывания функции
« x₂ − x₁ > 0 », значит, чтобы
произведение «( x₂ − x₁) (m + 2) » было меньше нуля, требуется, чтобы множитель «(m + 2)» был меньше нуля. Так как по правилу знаков: плюс на минус даёт минус.

+	·	−	< 0
(x₂ − x₁)	·	(m + 2)	< 0

Решим полученное неравенство.

m + 2 < 0
m < −2

Ответ: при «m < −2» функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Темы уроков

Возрастание и убывание функции

Что такое возрастание функции

Разбор примера

Как определить по графику, что функция возрастает

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Разбор примера

Что такое убывание функции

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Как по формуле доказать, что функция убывает

Как по графику функции определить возрастание и убывание

Разбор примера

При каких значениях « m » функция является убывающей или возрастающей

Разбор примера

Ваши комментарии

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

При каких значениях
« m » функция является убывающей или возрастающей