На главную страницу
![На главную страницу](css/images/home.png)
Войти при помощи
![Войти на сайт через ВКонтакте](images/authorization/vk_text.png)
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
![На главную страницу](css/images/home.png)
![На главную страницу](css/images/home_light.gif)
Сложение и вычитание алгебраических дробей
Поддержать сайт![спасибо](images/donut/handshake.png)
Алгебраические дроби складывают и вычитают по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.
Сложение алгебраических дробей
![!](css/images/for_special_left.png)
Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!
Нельзя складывать дроби без преобразований
![нельзя складывать алгебраические дроби](images/algebraic_fractions/deny_sum_algebraic_fractions.png)
Можно складывать дроби
![можно складывать алгебраические дрои](images/algebraic_fractions/allow_sum_algebraic_fractions.png)
При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:
- числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
- знаменатель остаётся прежним.
Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.
![пример сложения алгебраических дробей](images/algebraic_fractions/simple_sum_algebraic_fractions_example.png)
Так как знаменатель у обеих дробей «2а», значит, дроби можно сложить.
Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные.
![решенный пример сложения алгебраических дробей](images/algebraic_fractions/simple_sum_algebraic_fractions_solved.png)
Вычитание алгебраических дробей
![!](css/images/for_special_left.png)
Вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!
При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:
- из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
- знаменатель остаётся прежним.
![Галка](css/images/tip_35px.png)
Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.
Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.
Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.
![пример вычитания алгебраических дробей](images/algebraic_fractions/simple_subtraction_algebraic_fractions_example.png)
Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с», значит, эти дроби можно вычитать.
Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби «(a − b)». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок.
![решенный пример вычитания алгебраических дробей](images/algebraic_fractions/simple_subtraction_algebraic_fractions_solved.png)
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.
![сложение алгебраических дробей с разными знаменателями](images/algebraic_fractions/sum_algebraic_fractions_different_denominators.png)
В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.
Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.
Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .
В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.
Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.
- Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
- Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
- Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
- Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.
Вернемся к нашему примеру.
![сложение алгебраических дробей с разными знаменателями](images/algebraic_fractions/sum_algebraic_fractions_different_denominators.png)
Рассмотрим знаменатели «15a» и «3» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.
- Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15» и «3» — это «15».
- Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях.
В знаменателях «15a» и «5» есть только
один одночлен — «а». - Перемножим НОК из п.1 «15» и одночлен «а» из п.2. У нас получится «15a». Это и будет общим знаменателем.
- Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a»?».
Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a», значит, ее не требуется ни на что умножать.
Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3», чтобы получить «15a»?» Ответ — на «5a».
При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a» и числитель, и знаменатель.
![приведение алгебраической дроби к общему знаменателю](images/algebraic_fractions/algebraic_fraction_to_common_denominator.png)
Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики».
Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.
![приведение к общему знаменателю алгебраических дробей](images/algebraic_fractions/sum_algebraic_fractions_different_denominators_decomposition.png)
Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.
![решение примера сложения алгебраических дробей с разными знаменателями](images/algebraic_fractions/sum_algebraic_fractions_different_denominators_solved.png)
Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.
![вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями](images/algebraic_fractions/subtraction_algebraic_fractions_different_denominators.png)
В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.
Рассмотрим знаменатели «(x − y)» и «(x + y)» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.
- Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
- Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их.
Важно!
Многочлены необходимо рассматривать целиком! Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.
У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y)» и «(x + y)».
Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y)» — общий знаменатель.
Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.
![решение примера вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями](images/algebraic_fractions/subtraction_algebraic_fractions_different_denominators_solved.png)
Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения
В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения.
Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.
![алгебраических дроби и формулы сокращенного умножения](images/algebraic_fractions/subtraction_algebraic_fractions_different_denominators_fsu_example.png)
В первой алгебраической дроби знаменатель «(p2 − 36)». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов.
![разложение знаменателя по формуле разность квадратов](images/algebraic_fractions/subtraction_algebraic_fractions_different_denominators_fsu_composition.png)
После разложения многочлена «(p2 − 36)» на произведение
многочленов
«(p + 6)(p − 6)»
видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6)».
Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6)».
![алгебраических дроби и формулы сокращенного умножения решение](images/algebraic_fractions/subtraction_algebraic_fractions_different_denominators_fsu_solved.png)
![Галка](css/images/tip_35px.png)
Прежде чем приводить многочлены к общему знаменателю, попытайтесь использовать формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки.
Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.
![алгебраических дроби и формулы сокращенного умножения другой пример](images/algebraic_fractions/other_example_subtraction_algebraic_fractions_different_denominators.png)
Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки
![алгебраических дроби и вынесение общего множителя за скобки](images/algebraic_fractions/sum_algebraic_fractions_issuance_common_multiplier.png)
На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.
Вынесем общий множитель «а» за скобки в обоих знаменателях.
![вынесение общего множителя за скобки в знаменателе](images/algebraic_fractions/sum_algebraic_fractions_issuance_common_multiplier_composition.png)
После вынесения общего множителя «а» за скобки, в обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «а». Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».
![алгебраических дроби и вынесение общего множителя за скобки решение примера](images/algebraic_fractions/sum_algebraic_fractions_issuance_common_multiplier_solved.png)
Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом
Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).
![Сложение алгебраической дроби с буквой](images/algebraic_fractions/sum_polynomial_algebraic_fraction.png)
Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью, нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «1».
Представим одночлен «а» как алгебраическую дробь со знаменателем «1».
Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.
![одночлен как алгебраическую дробь](images/algebraic_fractions/polynomial_as_algebraic_fraction.png)
Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.
![Сложение алгебраической дроби с буквой решение примера](images/algebraic_fractions/sum_polynomial_algebraic_fraction_solved.png)
Ваши комментарии
Оставить комментарий: