x+2 |
y |
На главную страницу
![На главную страницу](css/images/home.png)
Войти при помощи
![Войти на сайт через ВКонтакте](images/authorization/vk_text.png)
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
![На главную страницу](css/images/home.png)
![На главную страницу](css/images/home_light.gif)
Область определения функции
Поддержать сайт![спасибо](images/donut/handshake.png)
![Галка](css/images/tip_35px.png)
Прежде чем перейти к изучению области определения функции
внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».
Вспомним кратко основные определения функции в математике.
Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».
Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:
- « x » называют независимым аргументом функции;
- « y » зависимой переменной или значением функции.
Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения
и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».
Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.
x | y = 2x | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
x = −2 | у = 2 · (−2) = −4 | ||||||
x = 0 | y = 2 · 0 = 0 | ||||||
x =
|
y = 2 ·
|
||||||
x = 3 | y = 2 · 3 = 6 |
![!](css/images/for_special_left.png)
Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).
Обозначают область определения функции как:
Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.
Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».
x | y = 2x | ||
---|---|---|---|
−2 | −4 | ||
0 | 0 | ||
|
1 | ||
3 | 6 |
Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.
Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:
- −2
- 0
- 10
- 30,5
- 1 000 000
- и так далее…
![!](css/images/for_special_left.png)
Областью определения функции называют множество чисел, которые можно подставить вместо « x ».
В нашей функции «у = 2x» вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.
Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.
D(y): x — любое действительное число
Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.
![числовая ось для x](images/analysis_function/numeric_axis.png)
Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x».
Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x »,
заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности
«+∞».
![числовая ось для x](images/analysis_function/function_scope_y_2x_on_numeric_axis.png)
Запишем результат по правилам записи неравенств.
![числовая ось для x](images/analysis_function/function_scope_y_2x_on_numeric_axis.png)
Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Запишем окончательный ответ для области определения функции.
Ответ:
По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как
«x ∈ R».
Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.
Область определения функции с дробью
Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.
Разбор примера
Найдите область определения функции:
8 |
x + 5 |
« f(x) =
8 |
x + 5 |
По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.
Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) =8 |
x + 5 |
Решим полученное линейное уравнение.
x ≠ −5
Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».
Число «−5» отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.
![числовая ось для x](images/analysis_function/not_-5_on_numeric_axis.png)
Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.
![числовая ось для x](images/analysis_function/inequalities_and_numeric_axis.png)
Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.
Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».
![числовая ось для x](images/analysis_function/inequalities_and_numeric_axis.png)
Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =
8 |
x + 5 |
Ответ:
Область определения функции с корнем
Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.
Разбор примера
Найти область определения функции:
Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.
Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = √6 − x».
Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.
Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».
−x ≥ −6 | ·(−1)
x ≤ 6
Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.
![числовая ось для x](images/analysis_function/function_scope_function_with_root.png)
Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = √6 − x» .
Так как число «6» входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
квадратная скобка.
Ответ:
Правило для определения области определения функции
![!](css/images/for_special_left.png)
Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:
- на ноль делить нельзя (другими словами, знаменатели дробей с « x » не должны быть равны нулю);
- подкоренные выражения корней чётной степени должны быть больше или равны нулю.
При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:
- есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
- есть ли корни четной
степени с « x »?
Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.
Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.
Разбор примера
Найдите область определения функции:
1 |
x 2 − 9 |
Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.
В функции « f(x) = √x + 3 +1 |
x 2 − 9 |
1 |
x 2 − 9 |
x2 − 9 ≠ 0
Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.
−b ± √b2 − 4ac |
2a |
x2 − 9 ≠ 0
x1;2 =
−0 ± √02 − 4 · 1 · (−9) |
2 · 1 |
x1;2 ≠
−0 ± √0 − (−36) |
2 |
x1;2 ≠
± √36 |
2 |
x1;2 ≠
± 6 |
2 |
x1;2 ≠ ±3
x1 ≠ 3 | x2 ≠ −3 |
« f(x) = √x + 3 +
1 |
x 2 − 9 |
Решим линейное неравенство.
x ≥ −3
![числовая ось для x](images/analysis_function/solve_inequalities_x_3.png)
Объединим полученные ответы по обоим вопросам:
- знаменатель дроби
«
1 x 2 − 9 - подкоренное выражение « √x + 3 » должно быть больше или равно нулю.
x ≠ −3 x ≠ 3 |
|
x ≥ −3 |
Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.
x ≠ −3 x ≠ 3 |
|
x ≥ −3 |
![сравнение ограничений для поиска области определения](images/analysis_function/compare_to_find_function_scopes.png)
Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.
![поиск общих промежутков](images/analysis_function/compare_to_find_function_scopes_with_red.png)
промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = √x + 3 +
1 |
x 2 − 9 |
Ответ:
Примеры определения области определения функции
Разбор примера
Найти область определения функции:
Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?
Ответ: в формуле функции
«y = 6√x +
5√1 + x»
нет дробей.
Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?
Ответ: в функции есть корень шестой степени: «6√x». Степень корня — число «6». Число «6» — чётное, поэтому подкоренное выражение корня «6√x» должно быть больше или равно нулю.
В формуле функции «y = 6√x +
5√1 + x»
также есть корень пятой степени
«5√1 + x
».
Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение
«1 + x»
не накладывается.
Получается, что единственное ограничение области определения функции
«y = 6√x +
5√1 + x»
— это ограничение подкоренного выражения
«6√x».
Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.
![поиск общих промежутков](images/analysis_function/x_more_or_equal_zero.png)
Ответ:
Разбор примера
Найдите область определения функции:
√x − 4 |
√x + 2 |
4x − 3 |
x2 − 7x + 6 |
Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.
√x − 4 |
√x + 2 |
4x − 3 |
x2 − 7x + 6 |
Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.
√x + 2 ≠ 0 | |
x2 − 7x + 6 ≠ 0 |
Обозначим их номерами «1» и «2» и решим каждое уравнение отдельно.
√x + 2 ≠ 0 (1) | |
x2 − 7x + 6 ≠ 0 (2) |
Решаем первое уравнение.
Если значение квадратного корня
«√x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю,
значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0»
также не должно быть равно нулю.
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
Теперь решим уравнение под номером «2», используя формулу квадратного уравнения.
−b ± √b2 − 4ac |
2a |
x2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)
x1;2 =
−(−7) ± √(−7)2 − 4 · 1 · 6 |
2 · 1 |
x1;2 =
7 ± √49 − 24 |
2 |
x1;2 =
7 ± √25 |
2 |
x1;2 =
7 ± 5 |
2 |
x1 ≠
|
x2 ≠
|
x1 ≠
|
x2 ≠
|
x1 ≠ 6 | x2 ≠ 1 |
Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.
x ≠ −2 | |
x ≠ 1 | |
x ≠ 6 |
Знаменатели с « x » мы проверили. Настала очередь проверить формулу функции на наличие корней четной степени .
В формуле функции«f(x) =
√x − 4 |
√x + 2 |
4x − 3 |
x2 − 7x + 6 |
есть два корня «√x − 4» и «√x + 2». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.
x − 4 ≥ 0 | |
x + 2 ≥ 0 |
Решим полученную систему неравенств.
x − 4 ≥ 0 | |
x + 2 ≥ 0 |
x ≥ 4 | |
x ≥ −2 |
Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.
![решение системы неравенств](images/analysis_function/solution_system_of_inequality.png)
Выпишем результат решения системы неравенств.
Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:
- проверка, что знаменатели
дробей с « x » не равны нулю; - проверка, что подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.
Условие проверки | Результат | ||||
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю |
|
||||
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю |
x ≥ 4 |
Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.
![пример поиска области определения функции](images/analysis_function/finding_scope_of_function.png)
«f(x) =
√x − 4 |
√x + 2 |
4x − 3 |
x2 − 7x + 6 |
с использованием математических символов.
Ответ:
Ваши комментарии
Оставить комментарий:
Я не могу понять за какое число воспринимать p1, p2
![thanks](images/forum/thanks.png)
2 |
x+1 |
![thanks](images/forum/thanks.png)
Ответ для Влад Алексеев
x+1?0
x?-1
Графиком является гипербола, смещеная влево относительно оси Y.
![thanks](images/forum/thanks.png)
Ответ для Катерина Яроцкая
![thanks](images/forum/thanks.png)