Карандаш и циркуль фаллаут надпись на парте злое лицо мем рисунок парк юрского периода надпись на парте она жует свой орбит без сахара надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню
На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков

Начальная школа
Математика 5 класс
Математика 6 класс
Алгебра 7 класс
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
Алгебра 9 класс
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
Человек наиболее живёт в то время, когда он чего-нибудь ищет. Ф.М. Достоевский
На главную страницу На главную страницу на главную

Сумма геометрической прогрессии

лупа
Введите тему
Скрепки
Поддержать сайтспасибо
Геометрическая прогрессия Сумма геометрической прогрессии

Перед изучением суммы геометрической прогрессии важно хорошо понимать определение самой геометрической прогрессии и уметь применять её формулы.

Вспомним, что геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый её следующий член получается результатом умножения на одно и то же число. Такое число обозначают буквой «q» и называют знаменателем прогрессии. Рассмотрим числовую последовательность ниже.

2, 6, 18, 54, 162…

Обозначим члены геометрической прогрессии как «b1», «b2» и так далее.

2,  6,  18,  54,  162…
b1 b2  b3  b4    b5…

Пусть требуется найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии.

Важно! Галка

Так как геометрическая прогрессия бесконечна, найти сумму всех её членов невозможно (их бесконечно много). Можно только вычислить сумму конкретного количества членов геометрической прогрессии.

Чаще всего в задачах требуется найти сумму первых трёх, четырёх и так далее членов прогрессии. «Найти сумму первых членов» означает, что нужно найти сумму, начиная с самого первого члена.

По заданию нам требуется найти сумму первых четырех членов прогрессии. Запишем формулу, где буквой «S» обозначим сумму. Рядом с ней поставим цифру «4», так как нам требуется посчитать сумму первых четырёх членов прогрессии.

S4 = b1 + b2 + b3 + b4

Подставим вместо букв числовые значения.

2,  6,  18,  54,  162…
b1 b2  b3  b4    b5…

S4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 8 + 18 + 54 =
= 26 + 54 = 80

Но что делать, если просят посчитать сумму первых десяти или тысячи членов прогрессии? Посчитать всё, сложив все члены, начиная с первого, можно, но будет очень затруднительно. Поэтому для расчёта суммы первых «n» членов геометрической прогрессии используют формулу ниже.

Сумма «n» первых членов геометрической прогрессии

Запомните! !
Sn =
b1 · (q n − 1)
q − 1

, где «q ≠ 1».

Обратите внимание, что в формуле используется знаменатель «q» в степени «n». Для применения формулы следует вспомнить, как возводить числа в степень.

Давайте подставим числовые значения в формулу и решим предыдущую задачу, используя эту формулу. Для этого нам понадобится числовое значение первого члена «b1» и знаменателя «q».

По условию задачи нам не известен знаменатель геометрической прогрессии «q». Но мы можем его вычислить, зная первый «b1» и второй член «b2» прогрессии.

Так как знаменатель «q» — это число, на которое умножается каждый следующий член прогрессии, его можно вычислить, разделив второй член «b2» на первый «b1».

q =
b2
b1

q =
6
2
= 3

Теперь мы готовы найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии «S4». Вместо «n» подставим в формулу «4» порядковый номер четвёртого члена.

Sn =
b1 · (q n − 1)
q − 1

S4 =
2 · (3 4 − 1)
3 − 1

Вспомним свойство степени и разложим степень «3 4» на слагаемые «4 = 2 + 2».

S4 =
2 · (3 4 − 1)
3 − 1
=
2 · (3 2 + 2 − 1)
3 − 1
= …

По свойству степеней с одинаковым основанием «3 4 = 3 2 + 2 = 3 2 · 3 2».

S4 =
2 · (3 4 − 1)
3 − 1
=
2 · (3 2 + 2 − 1)
3 − 1
=
=
2 · (3 2 · 3 2 − 1)
3 − 1
=
2 · (9 · 9 − 1)
3 − 1
=
=

=
2 · (81 − 1)
3 − 1
=
2 · 80
2
= …

Сократим дробь.

… =
2 · 80
2
=
2 · 80
2
= 80

Полученное значение «S4 = 80» совпало со значением, рассчитанным ранее без использования формулы.

В основном для задач на сумму геометрической прогрессии достаточно знать и уметь применять формулу суммы геометрической прогрессии, но иногда в задаче требуется определить значение «n»-ого члена геометрической прогрессии. Для этого нужно выучить и уметь применять формулу «n»-ого члена геометрической прогрессии.

Запомните! ! Формула «n» члена геометрической прогрессии
bn = b1 · q (n − 1)
, где «n» — порядковый номер члена прогрессии.

Задачи на сумму геометрической прогрессии

Задача

Найдите сумму «n» первых членов геометрической прогрессии («bn») со знаменателем «q», если:

b1 = 15,   q =
2
3
,   n = 3.

Запишем формулу суммы «n» первых членов геометрической прогрессии.

Sn =
b1 · (q n − 1)
q − 1

Подставим в формулу заданные по условию числовые значения.

Sn =
b1 · (q n − 1)
q − 1

b1 = 15,   q =
2
3
,   n = 3.

S3 =
15 · ( (
2
3
) 3 − 1)
2
3
− 1
= …
Используем свойства степени для дроби. Возведем числитель и знаменатель
дроби «
2
3
» в третью степень.
S3 =
15 · ( (
2
3
) 3 − 1)
2
3
− 1
=
15 · (
2 3
3 3
− 1)
2
3
− 1
=
=
15 · (
8
27
− 1)
2
3
− 1
= …
Вычтем из дробей «
8
27
» и «
2
3
» единицу по правилу вычитания числа из дроби. Представим единицы как дроби с аналогичным знаменателем.
… =
15 · (
8
27
−
27
27
)
2
3
−
3
3
=
15 · (
8 − 27
27
)
2 − 3
3
=
=
15 ·
−19
27
−1
3
=
15 · (−19)
27
−1
3
= …
Избавимся от «многоэтажной» дроби. Запишем деление на дробь «
−1
3
» через
знак « : ».
… =
15 · (−19)
27
−1
3
=
15 · (−19)
27
:
−1
3
= …
Перевернём дробь «
−1
3
» и умножим на неё.
… =
15 · (−19)
27
:
−1
3
=
15 · (−19) · 3
27 · (−1)
= …

По правилу знаков «минус» на «минус» даст «плюс».

… =
15 · (−19) · 3
27 · (−1)
=
15 · 19 · 3
27
= …

Сократим дробь.

… =
15 · 19 · 3
27 9
=
15 5 · 19
9 3
=
5 · 19
3
= …

Умножим «5» на «19» в столбик.

4
x19
5
95

… =
5 · 19
3
=
95
3
= …

По правилу хорошего тона в математике выделим целую часть в дроби и запишем окончательный ответ.

… =
95
3
= 31
2
3
Ответ: S3 = 31
2
3

Задача

Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии:

−0,6;   3;   −15;   …;

Запишем формулу суммы первых «n» членов геометрической прогрессии и посмотрим, чего нам в ней не хватает.

Sn =
b1 · (q n − 1)
q − 1

Так как нас просят вычислить сумму четырех первых членов прогрессии, подставим вместо «n = 4».

S4 =
b1 · (q 4 − 1)
q − 1

Подпишем номера членов заданной геометрической прогрессии.

−0,6   3  −15 …
 b1  b2    b3 …

Первый член геометрической прогрессии «b1 = −0,6» нам известен. Для формулы суммы первых четырех членов геометрической прогрессии нам требуется найти знаменатель прогрессии «q».

По определению знаменатель геометрической прогрессии — это число, на которое умножается каждый её член чтобы получить следующий. Запишем в виде формулы определение знаменателя «q».

b2 = b1 · q

Выразим из формулы «q».

b2 = b1 · q
b1 · q = b2
q =
b2
b1

q =
3
−0,6
= …

Для удобства вычислений представим десятичную дробь «0,6» в виде обыкновенной. Не забудем про знак минус.

q =
3
−0,6
=
3
−
6
10
= …

Запишем «многоэтажную» дробь через знак деления « : ».

q =
3
−0,6
=
3
−
6
10
= 3 : (−  
6
10
) = …
Разделим по правилу деления на обыкновенную дробь. Перевернем дробь «
6
10
» и умножим на неё.
… = 3 : (−  
6
10
) = − 3 ·
10
6
= …

Умножим число на дробь и затем сократим. Знак минус вынесем перед дробью.

… = − 3 ·
10
6
= −
31 · 10
62
= −
10
2
= −5

Теперь нам всё известно для формулы суммы первых четырёх членов прогрессии. Подставим полученные значения и вычислим сумму. Будем внимательны при подстановке отрицательных чисел и не забудем про знак минуса.

S4 =
b1 · (q 4 − 1)
q − 1


S4 =
−0,6 · ((−5) 4 − 1)
−5 − 1

Возведем «(−5) 4». Представим степень как «4 = 2 + 2». По свойству сложения степеней с одинаковым основанием «(−5) 4 = (−5) 2 + 2 = (−5) 2 · (−5) 2 .

S4 =
−0,6 · ((−5) 4 − 1)
−5 − 1
=
=
−0,6 · ((−5) 2 · (−5) 2 − 1)
−6
= …

Возведем «(−5)» в квадрат. Так как степень чётная, знак будет положительный.

S4 =
−0,6 · ((−5) 4 − 1)
−5 − 1
=
=
−0,6 · ((−5) 2 · (−5) 2 − 1)
−6
=
=
−0,6 · (25 · 25 − 1)
−6
= …

Умножим «25» на «25» в столбик.

2
x25
25
+125
50
625


… =
−0,6 · (25 · 25 − 1)
−6
=
=
−0,6 · (625 − 1)
−6
=
−0,6 · 624
−6
= …

Разделим «624» на «−6» в столбик. Не забудем про знак минус у «−6» при записи результата деления.

деление в столбик
…
−0,6 · 624
−6
= −0,6 · (−104) = …

Умножим «104» на десятичную дробь «−0,6». По правилу знаков «минус» на «минус» даст «плюс».

2
x104
0,6
62,4

Ответ: S4 = 62,4

Задача

Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена. Найти S6.

bn = −2 · (
1
2
) n

Разберём условие задачи. Нас просят найти «S6». Значит, требуется вычислить сумму шести первых членов прогрессии. То есть в формуле «n = 6».

Запишем формулу суммы первых шести членов геометрической прогрессии. Определим, чего нам не хватает.

Sn =
b1 · (q n − 1)
q − 1
S6 =
b1 · (q 6 − 1)
q − 1

Нам не известен первый член «b1» и знаменатель «q», но по условию задачи нам известна формула геометрической прогрессии. С её помощью вычислим первый член «b1».

bn = −2 · (
1
2
) n

Для нахождения первого члена прогрессии подставим вместо «n = 1».

b1 = −2 · (
1
2
) 1 = −2 ·
1
2
= …

Умножим число на дробь.

b1 = −2 · (
1
2
) 1 = −2 ·
1
2
=
− 2 · 1
2
= −1

Теперь нам нужно вычислить знаменатель «q». По определению знаменателя это число, на которое нужно умножить каждый член геометрической прогрессии, чтобы получить следующий. Поэтому второй член прогрессии будет равен произведению знаменателя на первое число.

b2 = b1 · q

Выразим из формулы знаменатель «q».

b2 = b1 · q
b1 · q = b2
q =
b2
b1

Мы вычислили первый член «b1», но все ещё не известен второй член «b2». Вычислим его также как первый по формуле геометрической прогрессии, заданной в условии задачи. Вместо «n» подставим «2».

bn = −2 · (
1
2
) n

b2 = −2 · (
1
2
) 2

Возведём во вторую степень дробь. Отдельно возведем в квадрат и числитель, и знаменатель.

b2 = −2 · (
1
2
) 2 = −2 ·
1 2
2 2
= −2 ·
1
4
=
=
−2 · 1
4
= …

Сократим полученную дробь.

… =
−2 · 1
4
=
− 2 1 · 1
4 2
= −
1
2

Теперь можно найти знаменатель «q».

q =
b2
b1

q = −
1
2
: (−1) = …

По правилу знаков минус на минус даст плюс.

q = −
1
2
: (−1) =
1
2

Мы получили все неизвестные для формулы суммы геометрической прогрессии. Можно вычислять сумму шести первых членов геометрической прогрессии.

Sn =
b1 · (q n − 1)
q − 1


b1 = −1;     q =
1
2


S6 =
−1 · ( (
1
2
) 6 − 1)
1
2
− 1
= …
Возведем дробь « (
1
2
) 6» в шестую степень по правилу возведения в степень обыкновенной дроби.
S6 =
−1 · ( (
1
2
) 6 − 1)
1
2
− 1
=

=
−1 · (
1 6
2 6
− 1)
1
2
− 1
= …

Представим «2 6 = 2 3 + 3 = 2 3 · 2 3» по свойству сложения степеней с одинаковым основанием.

… =
−1 · (
1 6
2 6
− 1)
1
2
− 1
=

=
−1 · (
1 6
2 3 · 2 3
− 1)
1
2
− 1
= …

Вычислим или вспомним, что два в кубе: «2 3 = 2 · 2 · 2 = 8». Единица в любой степени — это единица: «1 6 = 1».


… =
−1 · (
1 6
2 3 · 2 3
− 1)
1
2
− 1
=

=
−1 · (
1
8 · 8
− 1)
1
2
− 1
=
−1 · (
1
64
− 1)
1
2
− 1
= …
В знаменателе (внизу) вычтем из дроби единицу. Представим единицу
как « 1 =
2
2
». Таким же образом поступим в числителе (наверху). Представим
« 1 =
64
64
».
… =
−1 · (
1
64
− 1)
1
2
− 1
=
=
−1 · (
1
64
−
64
64
)
1
2
−
2
2
=
−1 · (−
63
64
)
1
2
−
2
2
= …

Будем аккуратны со знаками при раскрытии скобок. По правилу знаков минус на минус даст плюс.

… =
−1 · (−
63
64
)
−
1
2
=
63
64
−
1
2
= …
Используем порядок деления в «многоэтажной дроби». Запишем деление на дробь
1
2
через знак « : ». Затем перевернём и умножим на неё.
… =
63
64
−
1
2
=
63
64
: (−
1
2
) =
63
64
· (−
2
1
) =
= −
63 · 2
64 · 1
= …

Сократим полученную дробь.

… = −
63 · 2
64 · 1
= −
63 · 21
64 32 · 1
= −
63
32
= …

По правилу хорошего тона в математике выделим целую часть дроби в полученном результате.

… = −
63
32
= − 1
31
32

Запишем ответ.

Ответ: S6 = − 1
31
32

Задача

Сумма членов конечной геометрической прогрессии равна 605. Найдите количество членов прогрессии, если её первый член b1 = 5, а знаменатель прогрессии q = 3.

По традиции решение задачи на сумму геометрической прогрессии начнём с формулы суммы «n» членов геометрической прогрессии. Нам неизвестно сумму скольки членов геометрической прогрессии мы ищем, поэтому вместо конкретного числа оставим «n».

Sn =
b1 · (q n − 1)
q − 1

По условию задачи нам известна чему равна сумма членов геометрической прогрессии «Sn = 605»,
первый член «b1 = 5» и
знаменатель «q = 3». Подставим их формулу.

Sn =
b1 · (q n − 1)
q − 1


605 =
5 · (3 n − 1)
3 − 1

Задача поиска «n» усложняется тем, что неизвестное «n» находится в степени. Упростим выражение так, чтобы в левой части осталось только неизвестное в степени «n», а в правой всё остальное.

605 =
5 · (3 n − 1)
2

Умножим левую и правую часть на «2», чтобы избавиться от дроби в правой части.

605 =
5 · (3 n − 1)
2
       | · 2
605 · 2 =
5 · (3 n − 1)
2
· 2
1210 =
5 · (3 n − 1) · 2
2

1210 = 5 · (3 n − 1)

Поменяем левую и правую часть местами, чтобы неизвестное с «n» было в левой части.

5 · (3 n − 1) = 1210

Раскроем скобки.

5 · (3 n − 1) = 1210

5 · 3 n − 5 = 1210

5 · 3 n = 1210 + 5

5 · 3 n = 1215

3 n =
1215
5

Разделим «1215» на «5» в столбик.

деление в столбик
3 n = 243

Так как «n» находится в степени нам требуется понять, в какой степени «3» даст «243». Начнём последовательно возводить три в степень.

3 1 = 3
3 2 = 3 · 3 = 9
3 3 = 9 · 3 = 27
3 4 = 27 · 3 = …

Умножим «27» на «3» в столбик.

2
x27
3
81

3 4 = 27 · 3 = 81
3 5 = 81 · 3 = …

Умножим «81» на «3» в столбик.

x81
3
243


3 5 = 81 · 3 = 243

Значит, «n = 5». Запишем ответ согласно условию задачи.

Ответ: количество членов геометрической прогрессии равно «5».

Задача

Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии ( xn ), если
x3 = 24,  x8 = 768.

Во-первых, обратите внимание, что в условии задачи члены геометрической прогрессии обозначают через букву «x», а не «b» как обычно.

Это никак не повлияет на формулы геометрической прогрессии. Разница будет только в том, что вместо «b» мы будем использовать в формулах «x».

По традиции начнем решение задачи с формулы суммы «n» первых членов прогрессии. Запишем «оригинальную» формулу и заменим в ней «b» на «x».

Sn =
b1 · (q n − 1)
q − 1


Sn =
x1 · (q n − 1)
q − 1


По условию нам требуется вычислить сумму семи первых членов прогрессии. Поэтому вместо «n» подставим «7».

Sn =
x1 · (q n − 1)
q − 1


S7 =
x1 · (q 7 − 1)
q − 1


В формуле нам неизвестен ни первый член прогрессии «x1», ни знаменатель «q». По условию задачи нам известен только третий «x3 = 24» и восьмой член прогрессии «x8 = 768».

Вспомним формулу «n» члена геометрической прогрессии.

bn = b1 · q (n − 1)

Заменим в ней «b» на «x».

xn = x1 · q (n − 1)

Запишем формулы для третьего «x3» и восьмого «x8» члена.

x3 = x1 · q (3 − 1) = x1 · q 2

x8 = x1 · q (8 − 1) = x1 · q 7

Подставим вместо «x3 = 24»
и «x8 = 768» заданные по условнию значения.

24 = x1 · q 2

768 = x1 · q 7

Поменяем левую и правую часть местами для удобства.

x1 · q 2 = 24

x1 · q 7 = 768

Из полученных уравнений запишем систему уравнений и решим её.

x1 · q 2 = 24
x1 · q 7 = 768

Выразим из первого уравнения «x1».

x1 · q 2 = 24
x1 =
24
q 2

В полученном выражении мы получили, что «q» находится в знаменателе (то есть мы на него делим). Не забудем про область допустимых значений. Запишем, что
«q ≠ 0» не может быть равен нулю.

Подставим во второе уравнение
«x1 · q 7 = 768» вместо «x1» его значение, полученное из первого уравнения.
x1 · q 7 = 768
24
q 2
· q 7 = 768
24 · q 7
q 2
= 768

По свойству деления степеней с одинаковым основанием вычтем степени.

24 · q 7 − 2 = 768
24 · q 5 = 768
q 5 =
768
24

Разделим «768» на «24» в столбик.

деление в столбик
q 5 = 32

Определим, какое число в «5» степени даст «32». В этом нам поможет знание степеней. Мы также можем попробовать подобрать число методом перебора.

Число «32» — чётное, значит, оно делится на два без остатка. Вполне возможно, что это как раз степень двойки. Проверим.

2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 4 · 2 · 2 · 2 =

= 8 · 2 · 2 = 16 · 2 = 32

Успех! Мы правильно подобрали число для «q 5 = 32». Теперь известно,
что «q = 2».

Вернёмся к первому уравнению и найдём «x1».Вместо «q» подставим «2».

x1 · q 2 = 24

x1 · 2 2 = 24
x1 · 4 = 24
x1 =
24
4

x1 = 6

Нам всё известно для формулы суммы семи первых геометрических членов геометрической прогрессии. Можем подставить полученные значения и вычислить сумму семи первых членов прогрессии.

S7 =
x1 · (q 7 − 1)
q − 1


x1 = 6;   q = 2

S7 =
6 · (2 7 − 1)
2 − 1


Возведём «2 7». Для удобства вычислений по свойству степеней разложим седьмую степень на сумму степеней двойки, которые мы знаем или которые легко вычислить.

2 7 = 2 2 + 2 + 3 = 2 2 · 2 2 · 2 3 =

= 4 · 4 · 8 = 16 · 8 = …

Умножим «16» на «8» в столбик.

4
x16
8
128

2 7 = 2 2 + 2 + 3 = 2 2 · 2 2 · 2 3 =

= 4 · 4 · 8 = 16 · 8 = 128

S7 =
6 · (2 7 − 1)
2 − 1
=
6 · (128 − 1)
2 − 1
=
=
6 · 127
1
= 6 · 127 = …

Умножим «6» на «127» в столбик.

4
x127
6
762

S7 =
6 · (2 7 − 1)
2 − 1
=
6 · (128 − 1)
2 − 1
=

=
6 · 127
1
= 6 · 127 = 762

Запишем полученный ответ.

Ответ: S7 = 762


Геометрическая прогрессия Сумма геометрической прогрессии

Ваши комментарии

Важно! Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

Отправить
она жует свой орбит без сахара надпись на парте