На главную страницу

Войти при помощи

Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Арифметическая прогрессия
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс


Линейная функция «y = kx + b» и её график
Поддержать сайт
«y = kx + b» и её график Как построить график функции вида
«y = 7» или «x = 2»
Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx»
внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».

Функцию вида «y = kx + b» называют линейной функцией.
Буквенные множители «k» и «b» называют числовыми коэффициентами.
Вместо «k» и «b» могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо «k» и «b» стоят числа.
Примеры функций типа «y = kx + b».
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y =
x − 22 3 - y = 0,5x
Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
y = 5x + 3 | k = 5 | b = 3 | ||||
y = −x + 1 | k = −1 | b = 1 | ||||
y =
|
k =
|
b = −2 | ||||
y = 0,5x | k = 0,5 | b = 0 |
Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x» в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».
Рассматривая функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента «b» в функции нет.Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда. В функции «y = 0,5x» числовый коэффициент «b» равен нулю.
Как построить график линейной функции
«y = kx + b»

Графиком линейной функции «y = kx + b» является прямая.
Так как графиком функции «y = kx + b» является прямая линия, функцию называют линейной функцией.
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что
чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего
две точки.
Для примера построим график функции «y = −2x + 1».
Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x». Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа «0» и «1». С этими числами легко выполнять расчеты.
x | Расчет «y = −2x + 1» |
---|---|
0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 1 |
1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.
Точка | Координата по оси «Оx» (абсцисса) | Координата по оси «Оy» (ордината) |
---|---|---|
(·)A | 0 | 1 |
(·)B | 1 | −1 |
Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции «y = −2x + 1».

Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»
Рассмотрим задачу.
Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:
- значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
- значение «x», если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.
Вначале построим график функции «y = 2x + 3».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа «0» и «1».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
Точка |
Координата по оси «Оx» |
Координата по оси «Оy» |
---|---|---|
(·)A | 0 | y(0) = 2 · 0 + 3 = 3 |
(·)B | 1 | y(1) = 2 ·1 + 3 = 5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции «y = 2x + 3».

Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».
Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.
Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике функции необходимо:
- провести перпендикуляр от оси «Ox» (ось абсцисс) из заданного числового значения «x» до пересечения с графиком функции;
- из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси «Oy» (ось ординат);
- полученное числовое значение на оси «Oy» и будет искомым значением.
По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3» необходимые значения функции «y» для «x» равным −1; 2; 3; 5.

Запишем полученные результаты в таблицу.
Заданное значение «x» | Полученное с графика значение «y» |
---|---|
−1 | 1 |
2 | 7 |
3 | 9 |
5 | 13 |
Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x», если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси «Oy».

Запишем полученные результаты в таблицу.
Заданное значение «y» | Полученное с графика значение «x» |
---|---|
−1 | −2 |
0 | −1,5 |
1 | −1 |
4 | 0,5 |
Как проверить, проходит ли график через точку
Рассмотрим другое задание.
Не выполняя построения графика функции «y = 2x −1 |
3 |
1 |
3 |

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси «Ox» вместо «x», а координату по оси «Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
−
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
в функцию «y = 2x −
1 |
3 |
1 |
3 |
−2 = 2 −
1 |
3 |
−2 = 1
3 |
3 |
1 |
3 |
−2 = 1
2 |
3 |
1 |
3 |
Как найти точки пересечения графика с осями
Рассмотрим задачу.
Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.
Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения с осями.
Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции
«y = −1,5x + 3».
Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение «y» по формуле функции. Например, для x = 0 и x = 1.
Точка |
Координата по оси «Оx» |
Координата по оси «Оy» |
---|---|---|
(·)A | 0 | y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3 |
(·)B | 1 | y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5 |
Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью
«Oy»
(осью ординат)
нужно:
- приравнять координату точки по оси «Ox» к нулю (x = 0);
- подставить вместо «x» в формулу функции ноль и найти значение «y»;
- записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy».
Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.
(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» c осью «Oy».

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью
«Ox»
(осью абсцисс)
нужно:
- приравнять координату точки по оси «Oy» к нулю (y = 0);
- подставить вместо «y» в формулу функции ноль и найти значение «x»;
- записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy».
Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.
1,5x = 3 | :(1,5)
x = 3 : 1,5
x = 2
(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» c осью «Ox».
Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью «Ox», то приравниваем «y» к нулю.
И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью «Oy», то приравниваем «x» к нулю.
«y = kx + b» и её график Как построить график функции вида
«y = 7» или «x = 2»
Ваши комментарии
Оставить комментарий:

Ответ для Михаил Лысенко
Это квадратичная функция. Они разобраны в другом уроке
