На главную страницу
![На главную страницу](css/images/home.png)
Войти при помощи
![Войти на сайт через ВКонтакте](images/authorization/vk_text.png)
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
![На главную страницу](css/images/home.png)
![На главную страницу](css/images/home_light.gif)
Квадратные неравенства с одним корнем или без корней
Поддержать сайт![спасибо](images/donut/handshake.png)
Прежде чем перейти к разбору решений не совсем типичных квадратных неравенств, потренируйтесь в
решении обычных квадратных неравенств,
у которых при решении соответствующего квадратного уравнения получаются два корня.
Квадратные неравенства, у которых получается один корень
Рассмотрим неравенство, в котором при решении квадратного уравнения методом интервалов получается только один корень. Например, требуется решить следующее квадратное неравенство:
Используем метод интервалов для решения квадратного неравенства. Сразу переходим к п.3 правила из урока «Метод интвервалов», так как п.1 и п.2 уже выполнены. То есть, приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.
x1;2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 · 1 · 1 |
2 · 1 |
x1;2 =
2 ± √4 − 4 |
2 |
x1;2 =
2 ± √0 |
2 |
x1;2 =
2 |
2 |
x1 = x2 = 1
У нас получилось, что оба корня имеют одно одинаковое значение равное единице. Другими словами, значение корня повторяется два раза. Отметим это значение на числовой оси согласно п.5 из правила метода интервалов.
![корень уравнения неравенства на числовой оси](images/quadratic_inequalities/one_root_on_axis_number_1.png)
Теперь по п.6 отметим знаки внутри интервалов. Но в отличии от решения обычных квадратных неравенств с двумя различными корнями здесь появляется важный нюанс.
![!](css/images/for_special_left.png)
Если значение корня в уравнении повторяется четное количество раз, то при расставлении знаков в интервалах при переходе через этот корень знак не меняется.
В нашем случае значение корня повторяется два раза «x1 = x2 = 1». Значит, при переходе через это значение знак не поменяется. С учетом выше сказанного проставим знаки в интервалах справа налево, начиная со знака «+».
![корень уравнения неравенства на числовой оси](images/quadratic_inequalities/one_root_on_axis_number_1_with_sights.png)
Теперь по исходному неравенству
Таких интервалов на нашем рисунке нет, но неравенство нестрогое, значит, только число «1» является решением неравенства. Запишем ответ.
Ответ: x = 1
Убедимся в правильности нашего решения, подставив «x = 1» в исходное неравенство.
12 − 2 · 1 + 1 ≤ 0
0 ≤ 0 (верно)
Квадратные неравенства, не имеющие корней (нет решений)
Рассмотрим квадратные неравенства, у которых при решении соответствующего квадратного уравнения не получается ни одного корня. Пусть требуется решить следующее квадратное неравенство.
П.1 и п.2 для решения этого квадратного неравенства методом интервалов уже выполнен, поэтому сразу перейдем к п.3, то есть к решению соответсвующего квадратного уравнения.
x2 + 2x + 7 = 0
x1;2 =
2 ± √22 − 4 · 7 · 1 |
2 · 1 |
x1;2 =
2 ± √4 − 28 |
2 |
x1;2 =
2 ± √−24 |
2 |
Нет действительных корней
При решении квадратного уравнения мы получили, что действительных корней нет. Но это вовсе не означает, что исходное квадратное неравенство невозможно решить.
![!](css/images/for_special_left.png)
Если при решении квадратного уравнения для неравенства получилось, что действительных корней нет, значит, ответом квадратного неравенства будет: «нет действительных решений».
Так и запишем в ответ.
Ответ: нет действительных решений.
При написании ответа для квадратного неравенства важно помнить, что изначально мы решаем именно неравенство, поэтому речь идет именно о «решениях», а не о «корнях».
Помните, что решением любых неравенств, как правило, являются области решений (множество чисел), а в уравнениях — это конкретные числа, которые мы называем корнями уравнений.
Стоит запомнить для себя: уравнения — корни, неравенства — решения.
В завершении урока разберем еще одно квадратное неравенство, при решении которого получается только один корень.
x2 − 6x + 9 = 0
x1;2 =
6 ± √62 − 4 · 1 · 9 |
2 · 1 |
x1;2 =
6 ± √36 − 36 |
2 |
x1;2 =
6 ± √0 |
2 |
x1;2 =
6 ± 0 |
2 |
x1;2 =
6 |
2 |
x1 = x2 = 3
Корень повторяется два раза, значит, знак при переходе через число «3» не меняется.
![определение знаков по методу интервалов](images/quadratic_inequalities/one_root_on_axis_number_3_with_sights.png)
Выберем нужные интервалы. В исходном неравенстве
![выбор интервалов как ответ квадратного неравенства](images/quadratic_inequalities/one_root_on_axis_number_3_with_sights_hatched.png)
Ваши комментарии
Оставить комментарий: