Скрыть меню

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Иррациональные числа

Алгебра 11 класс

Факториал

Если точно знаешь, что хочешь сказать, то скажешь хорошо. Гюстав Флобер

на главную

Арифметическая прогрессия

Поддержать сайт

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

Арифметическая прогрессия Сумма арифметической прогрессии

Рассмотрим числовую последовательность.

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Если внимательно её изучить, то станет видна закономерность: каждое следующее число отличается от предыдущего ровно на «4».

3,	7,	11,	15,	19,	23,	27,	…
	+4	+4	+4	+4	+4	+4

Такую числовую последовательность называют арифметической прогрессией. Каждое число в арифметической прогрессии называют членом арифметической прогрессии.

Запомните!

Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Чаще всего арифметическую прогрессию записывают с помощью латинской буквы «a_n», где «n» — порядковый номер члена прогрессии.

3,	7,	11,	15,	19,	23,	27,	…
a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇	…	a_n

Число, на которое отличается каждый следующий член прогрессии, называют разностью и обозначают буквой «d».

3,	7,	11,	15,	19,	23,	27,	…
	+4	+4	+4	+4	+4	+4

В данной арифметической прогрессии разность «d = 4».

Бывают арифметические прогрессии, в которых разность «d» отрицательная. Поэтому по правилу сложения с отрицательным числом каждый следующий ее член меньше предыдущего. Например:

10, 5, 0, −5, −10, −15 …

Вычислим разность «d» арифметической прогрессии выше. Для этого согласно определению арифметической прогрессии запишем, что второй член «a₂» равен сумме первого члена «a₁» и разности «d», в виде формулы:

a₂ = a₁ + d

Вычислим разность «d» из формулы выше, зная «a₁» первый член и «a₂» второй член прогрессии.

a₂ = a₁ + d
−d = a₁ − a₂ | ·(−1)
(−1) · (−d) = (−1) · (a₁ − a₂)
d = −a₁ + a₂
d = a₂ − a₁

Подставим вместо «a₁» и «a₂» числовое значение первого и второго члена арифметической прогрессии. Запишем заданную прогрессию через «a» и их порядковые номера.

10,	5,	0,	−5,	−10,	−15,	…
a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	…

d = a₂ − a₁
d = 5 −10 = −5

Получили, что в заданной арифметической прогрессии разность
«d = −5».

10,	5,	0,	−5,	−10,	−15,	…
	−5	−5	−5	−5	−5	…

Чтобы решать большинство задач на арифметическую прогрессию, необходимо выучить и уметь применять две формулы ниже.

Запомните!

Формула «n» члена арифметической прогрессии

a_n = a₁ + d(n − 1)

, где «n» — порядковый номер члена прогрессии.

Через формулу «n»-го (читается как «энного») члена арифметической прогрессии можно найти любой ее член, зная её первый член «a₁» и разность «d». Проверим на нашей прогрессии.

3,	7,	11,	15,	19,	23,	27,	…
a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇	…	a_n

Убедимся, что числовое значение четвёртого члена «a₄ = 15» совпадает со значением, которое мы вычислим через формулу «n»-го члена.

Подставим в формулу «n» члена первый член «a₁» и разность «d». Вместо «n» подставим «4», так как порядковый номер четвертого члена равен «4».

a_n = a₁ + d(n − 1)

a₄ = a₁ + 4 · (4 − 1) = 3 + 4 · 3 =
= 3 + 12 = 15

Значения совпали.

Вторая формула, которая требуется при решении задач, является формула среднего арифметического арифметической прогрессии.

Запомните!

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

a_n =

a_{n − 1} + a_{n + 1}

Проверим формулу на нашей арифметической прогрессии.

3,	7,	11,	15,	19,	23,	27,	…
a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇	…	a_n

Вычислим третий член «a₃» прогрессии. Подставим в формулу среднего арифметического второй член «a₂» (сосед слева) и четвертый член «a₄» (сосед справа).

a_n =

a_{n − 1} + a_{n + 1}

3,	7,	11,	15,	19,	23,	27,	…
a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇	…	a_n

a₃ =

a₂ + a₄

7 + 15

= 11

Примеры на арифметическую прогрессию

Задача

Записать первые пять членов арифметической прогрессии, если
a₁ = −3, d = 2.

Чтобы записать первые пять членов арифметической прогрессии нам достаточно знать ее первый член «a₁» и разность «d». По условию задачи они нам известны.

Вычислим «a₂» второй член арифметической прогрессии: к первому члену «a₁» прибавим разность «d = 2».

−3,	?
	+2

−3,	−1

Теперь найдем третий член «a₃» прогрессии. Добавим ко второму члену «a₂ = −1» разность «d = 2».

−3,	−1,	?
		+2

−3,	−1,	1

Осталось таким же образом вычислить четвёртый «a₄» и пятый «a₅» член прогрессии.

−3,	−1,	1,	?	?
			+2	+2

−3,	−1,	1,	3,	5

Ответ:

−3,	−1,	1,	3,	5
a₁	a₂	a₃	a₄	a₅

Задача

Первый член арифметической прогрессии ( a_n )» равен «4», а разность равна «0,4». Найдите:

1) a₃ ; 2) a₁₁ ; 3) a₃₂ .

По условию задачи нам известен первый член «a₁ = 4» и разность «d = 0,4». Используя формулу «n» члена прогрессии, мы можем вычислить любой ее член. Найдём «a₃» третий член арифметической прогрессии.

a_n = a₁ + d(n − 1)

Подставим в формулу «n» члена все известные значения. Вместо «n» (порядкового номера члена прогрессии) число «3».

a_n = a₁ + d(n − 1)

a₃ = 4 + 0,4 · (3 − 1) = 4 + 0,4 · 2 =
= 4 + 0,8 = …

Посчитаем, используя правило сложения десятичных дробей.

a₃ = 4 + 0,4 · (3 − 1) = 4 + 0,4 · 2 =
= 4 + 0,8 = 4,8

Аналогично найдем «a₁₁» одиннадцатый член прогрессии и «a₃₂» тридцать второй.

a_n = a₁ + d(n − 1)

a₁₁ = 4 + 0,4 · (11 − 1) = 4 + 0,4 · 10 =
= 4 + 4 = 8

a_n = a₁ + d(n − 1)

a₃₂ = 4 + 0,4 · (32 − 1) = 4 + 0,4 · 31 = …

Умножим в столбик «31» и «0,4» по правилу умножения десятичных дробей..

a₃₂ = 4 + 0,4 · (32 − 1) = 4 + 0,4 · 31 =
= 4 + 12,4 = 16,4

Ответ: a₃ = 4,8 ; a₁₁ = 8 ; a₃₂ = 16,4 .

Задача

Найдите номер члена арифметической прогрессии 8,1; 8,5; 8,9; 9,3; …, равного 13,7.

Большинство задач на арифметическую прогрессию решается с помощью одной из двух формул: «n» члена прогрессии или среднего арифметического арифметической прогрессии.

Для начала рассмотрим заданную прогрессию и выпишем всё что о ней известно. Подпишем под членами прогрессии их порядковые номера для удобства.

8,1	8,5	8,9	9,3	…
a₁	a₂	a₃	a₄

Итак, нам известен первый и второй член прогрессии: a₁ = 8,1 ; a₂ = 8,5.

Теперь, зная первый «a₁ = 8,1 » и второй член «a₂ = 8,5 » прогрессии можно найти ее разность «d». Так как мы знаем, что каждый следующий член прогрессии равен сумме предыдущего с разностью, запишем это в виде формулы.

a₂ = a₁ + d

8,5 = 8,1 + d

Перенесём неизвестное «d» в левую часть с противоположным знаком, а числа в правую.

−d + 8,5 = 8,1

−d = 8,1 − 8,5

Вычтем из десятичной дроби по правилам вычитания десятичных дробей.

−d = 8,1 − 8,5

−d = −0,4

Умножим левую и правую часть на «(−1)», используя правило знаков.

−d = −0,4 |· (−1)

−d · (−1) = −0,4 · (−1)

d = 0,4

Нам известен первый член прогрессии «a₁ = 8,1 » и ее разность «d = 0,4». Нам также по условию задачи известно числовое значение члена прогрессии равное «13,7». Но мы не знаем его номер.

Подставим все известные значения в формулу «n» члена арифметической прогрессии.

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 13,7 a₁ = 8,1 d = 0,4 n = ?

13,7 = 8,1 + 0,4 · (n − 1)

Теперь осталось решить полученное уравнение и найти «n».

13,7 = 8,1 + 0,4 · (n − 1)

13,7 = 8,1 + 0,4n − 0,4

13,7 = 0,4n + 7,7

Неизвестное «n» переносим в левую часть, а числа — в правую по правилу переноса.

−0,4n = 7,7 − 13,7

−0,4n = −6

Умножим левую и правую часть на «(−1)».

−0,4n = −6 |· (−1)

−0,4n · (−1) = −6 · (−1)

0,4n = 6

Для удобства, чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим левую и правую часть на «10».

0,4n = 6 |· 10

0,4n · 10 = 6 · 10

4n = 60

n =

Разделим «60» на «4» в столбик.

n = 15

Мы получили порядковый номер члена арифметической прогрессии «n = 15», чье значение равно «13,7». Другими словами: «a₁₅ = 13,7»

Ответ: порядковый номер члена арифметической прогрессии с числовым значением «13,7» равен «n = 15».

Задача

Найти девятый член и разность арифметической прогрессии,
если «a₈ = −64, a₁₀ = −50».

Если записать известные по условию члены арифметической прогрессии по порядку, то видно, что девятый член «a₉» находится посередине между восьмым «a₈» и десятым «a₁₀».

a₈ = −64

a₉ = ?

a₁₀ = −50

…

Поскольку нам известен для девятого члена прогрессии «a₈» восьмой член (сосед слева) и «a₁₀» десятый член (сосед справа), можно использовать формулу среднего арифметического арифметической прогрессии.

a_n =

a_{n − 1} + a_{n + 1}

Подставим вместо «n = 9», так как мы ищем девятый член прогрессии.

a₉ =

a_{9 − 1} + a_{9 + 1}

a₉ =

a₈ + a₁₀

Подставим вместо «a₈» и «a₁₀», заданные по условию значения.

a₉ =

−64 + (−50)

−64 −50

−114

=
= −57

Осталось вычислить разность «d» арифметической прогрессии. Нам известен «a₈» восьмой член прогрессии и мы только что нашли «a₉» девятый член прогрессии.

Девятый член «a₉» прогрессии может быть также получен сложением восьмого члена «a₈» и разности «d» по определению арифметической прогрессии. Запишем это в виде формулы и из нее найдем «d».

a₉ = a₈ + d

−57 = −64 + d

−d = 57 − 64

−d = −7

(−1) · (−d) = (−1) · (−7) | · (−1)

d = 7

Ответ: a₈ = −57; d = 7

Задача

Является ли число «12» членом арифметической прогрессии −18, −15, −12, …?

Запишем члены заданной прогрессии через букву «a» с порядковыми номерами.

−18	−15	−12	…
a₁	a₂	a₃

Вычислим разность «d» арифметической прогрессии, зная ее первый член «a₁» и второй член «a₂».

a₂ = a₁ + d

−15 = −18 + d

−d = −18 + 15

−d = −3 | ·(−1)

(−1) · (−d) = (−1) · (−3)

d = 3

Запишем формулу «n» члена арифметической прогрессии.

a_n = a₁ + d(n − 1)

Нам нужно проверить, является ли число «12» членом арифметической прогрессии.

Предположим, что число «12» является членом заданной арифметической прогрессии. Тогда если подставить его формулу, мы сможем найти его порядковый номер «n». Так как «n» является порядковым номером, он должен быть натуральным числом — то есть целым и неотрицательным.

a_n = a₁ + d(n − 1)

12 = −18 + 3(n − 1)

12 = −18 + 3n − 3

12 = −21 + 3n

−3n = −21 − 12

−3n = −33 | · (−1)

(−1) · −3n = (−1) · (−33)

3n = 33

n =

n = 11

Порядковый номер «n = 11» получился целым и неотрицательным, значит, число «12» является членом арифметической прогрессии.

Ответ: число «12» является членом арифметической прогрессии −18, −15, −12, … .

Задача

Найдите первый член арифметической прогрессии ( b_n ), если b₅ = 11,
b₁₁ = −7.

Во-первых, стоит обратить внимание, что не всегда арифметическую прогрессию записывают через букву «a». Иногда используют другие буквы латиницы, например, «b». Но это никак не влияет на свойства арифметической прогрессии.

Выпишем, что нам известно.

b₅ = 11, b₁₁ = −7

У нас нет известных соседних членов арифметической прогрессии и неизвестен первый член «b₁» и разность арифметической прогрессии «d».

Запишем формулу «n» члена арифметической прогрессии для «b₅» пятого и «b₁₁» одиннадцатого члена.

b_n = b₁ + d(n − 1)

b₅ = b₁ + d(5 − 1)
b₅ = b₁ + 4d

b₁₁ = b₁ + d(11 − 1)
b₁₁ = b₁ + 10d

Подставим вместо «b₅» и «b₁₁» заданные числа.

b₅ = b₁ + 4d
11 = b₁ + 4d

b₁₁ = b₁ + 10d

−7 = b₁ + 10d

В обоих уравнениях два неизвестных: первый член «b₁» и разность «d». Мы можем записать систему уравнений и найти их.

	11 = b₁ + 4d
	−7 = b₁ + 10d

Выразим из первого уравнения «b₁».

11 = b₁ + 4d

−b₁ = −11 + 4d | ·(−1)

(−1) · ( −b₁ ) = (−1) · (−11 + 4d)

b₁ = 11 − 4d

Подставим во второе уравнение вместо «b₁ = 11 − 4d».

−7 = b₁ + 10d

−7 = 11 − 4d + 10d

−7 = 11 + 6d

−6d = 11 + 7 | ·(−1)

(−1) · (−6d) = (−1) · 18

6d = −18

d = −

d = −3

Подставим полученное значение
«d = −3» в первое уравнение и найдём «b₁» первый член арифметической прогрессии.

b₁ = 11 − 4d

b₁ = 11 − 4 · (−3) = 11 + 12 = 23

Ответ: b₁ = 23

Арифметическая прогрессия Сумма арифметической прогрессии

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий: