Скрыть меню

А вы, наверное, думали увидеть здесь какую-нибудь умную фразу ;) Администратор

Для учёбы

Презентации

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

Для учёбы	Презентации	Супер-решатель
Для докладов	Карта сайта	Проверь себя

Перед изучением суммы арифметической прогрессии важно хорошо понимать определение арифметической прогрессии и уметь применять ее формулы.

Напомним, что арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый её член отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число обозначают буквой «d» и называют разностью. Например, рассмотрим числовую последовательность ниже.

Обозначим порядковые номера членов арифметической прогрессии и вычислим её разность.

2,	5,	8,	11,	14,	17	…
a1	a2	a3	a4	a5	a6	…

Пусть требуется посчитать сумму первых четырёх членов арифметической прогрессии.

Чаще всего в заданиях просят найти сумму первых трёх, четырёх и так далее членов прогрессии. Это означает, что нужно найти сумму, начиная с самого первого члена.

По заданию нам требуется вычислить сумму первых четырёх членов прогрессии. Запишем сумму в виде формулы, где буквой «S» обозначим сумму и рядом с ней поставим цифру «4», так как нам требуется посчитать сумму первых четырёх членов прогрессии.

Подставим вместо букв числовые значения.

2,	5,	8,	11,	14,	17	…
a1	a2	a3	a4	a5	a6	…	an

Но что, если просят посчитать сумму первых ста или тысячи членов прогрессии? Посчитать всё, просто сложив все члены, начиная с первого до тысячного можно, но будет крайне затруднительно. Поэтому для расчёта суммы первых
«n»-членов прогрессии используют специальную формулу.

Сумма «n» первых членов арифметической прогрессии

Давайте подставим числовые значения в формулу и вычислим сумму. Нам требуется найти сумму первых четырёх членов прогрессии.

Для формулы нам понадобятся только значения первого члена «a₁ = 2» и четвёртого «a₄ = 11». Вместо «n» подставим «4» — порядковый номер четвёртого члена.

Используем правило умножения числа на дробь.

Ответ совпал со значением, рассчитанным вручную без формул.

Для большинства задач на сумму арифметической прогрессии достаточно знать и уметь применять эту формулу (сделать внутреннюю ссылку). Но иногда в задачах требуется найти «n»-ый член арифметической прогрессии. Для этого нужно знать и уметь применять формулу «n» члена арифметической прогрессии.

Задачи на сумму арифметической прогрессии

Задача

Чему равна сумма семи первых членов арифметической прогрессии (a_n), если
a₁ = 9 и a₇ = 15.

---

Запишем формулу суммы «n»-ых членов арифметической прогрессии.

Так как по условию задачи нас просят вычислить сумму семи первых членов прогрессии вместо «n» подставим число «7».

Нам заданы первый член арифметической прогрессии «a₁ = 9» и и седьмой «a₇ = 15». Подставим их значения в формулу и вычислим сумму.

Умножим в столбик числа «12» и «7».

Запишем полученный ответ.

Ответ: S₇ = 84

---

Задача

Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если

---

Запишем формулу суммы «n»-ых членов арифметической прогрессии.

Так как по заданию требуется рассчитать сумму первых двенадцати членов прогрессии подставим вместо «n» число «12».

По условию нам известен первый член
«a₁ =

1

2

» и разность « d = −3», но неизвестен двенадцатый член прогрессии «a₁₂». Используем формулу «n» члена арифметической прогрессии.

Вместо «n» подставим в формулу число «12», так как мы ищем двенадцатый член «a₁₂».

Используем правило вычитания дроби из целого числа.

Теперь нам известно всё для формулы суммы первых двенадцати членов прогрессии и мы можем её вычислить .

Умножим числа «16» и «12» в столбик.

	1
x	1	6
	1	2
	3	2
1	6
1	9	2

Не забудем про знак минус при расчёте окончательного результата.

Ответ: S₁₂ = −192

---

Задача

Арифметическая прогрессия («c_n») задана формулой «n»-го члена «c_n = 5n − 2». Найдите сумму двадцати шести первых членов прогрессии.

---

Обратите внимание, что арифметическая прогрессия не обязательно должна быть задана через букву «a». В данном случае она задана через букву «c». Тем не менее, все формулы арифметической прогрессии в ней действуют как обычно. Просто вместо буквы «a» в формулах будем использовать букву «c».

Для начала выпишем формулу суммы арифметической прогрессии и посмотрим, чего нам в ней не хватает.

Заменим в этой формуле букву «а» на букву «с» в соответствии с условием задачи.

По заданию нас просят вычислить сумму первых двадцати шести членов прогрессии. Поэтому вместо «n» подставим число «26» в формулу.

Нам неизвестен первый «c₁» и двадцать шестой «c₂₆» член прогрессии, но нам задана формула арифметической прогрессии «c_n = 5n − 2». По этой формуле мы можем найти любой член прогрессии, зная его порядковый номер.

Вычислим первый член «c₁», то есть вместо «n» подставим один.

Теперь найдем двадцать шестой член «c₂₆», то есть вместо «n» подставим «26».

Умножим в столбик «26» и «5».

Теперь мы можем вычислить сумму первых двадцати шести членов прогрессии.

Используем правило умножения дроби на число и сократим дробь.

Умножим в столбик «121» и «13».

x	1	2	1
		1	3
	3	6	3
1	2	1
1	5	7	3

Запишем полученный результат в ответ.

Ответ: S₂₆ = 1573

---

Задача

Места в цирке расположены так, что в первом ряду каждого сектора 6 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в секторе, если в нём 16 рядов?

---

При решении задач, в которых в условии говорится «в каждом следующем (ряду/дне/книге и тому подобное) больше (мест/минут/страниц) на одинаковое число» следует использовать формулы арифметической прогрессии.

Для начала переведём текст задачи в определения арифметической прогрессии.

Прочитаем еще раз первое предложение задачи: «Места в цирке расположены так, что в первом ряду» каждого сектора «6» мест…». Значит, первый член арифметической прогрессии будет равен «a₁ = 6».

Продолжаем читать условие задачи: «...а в каждом следующем на «3» места больше чем в предыдущем…». Другими словами «3» — это число, на которое отличается каждый следующий член прогрессии. По определению это разность арифметической прогрессии «d = 3».

Продолжаем читать задачу. «Сколько мест в секторе, если в нём 16 рядов?» Нам известно, что весь сектор состоит из «16» рядов. Нам нужно посчитать сумму всех мест «16» рядов, то есть на языке арифметической прогрессии сумму первых «16» членов прогрессии.

Запишем формулу суммы «n»-ых членов арифметической прогрессии.

Вместо «n» подставим «16», так как нам требуется вычислить сумму «16» членов.

Мы выяснили, что по условию нам известен первый член прогрессии «a₁ = 6» и разность «d = 3». Значит, по формуле «n»-го члена прогрессии мы можем вычислить шестнадцатый член «a₁₆».

Теперь подставим «a₁₆» в формулу суммы прогрессии.

Сократим дробь.

Умножим в столбик «57» и «8».

Запишем ответ на поставленный в задаче вопрос.

Ответ: в секторе 456 мест.

---

Задача

Найти первый член и разность прогрессии, если «S₅ = 65» и «S₁₀ = 230».

---

Для начала запишем формулу суммы арифметической прогрессии

Напишем формулу суммы для первых пяти членов прогрессии «S₅». Вместо «n» подставим «5».

Напишем формулу суммы для первых десяти членов прогрессии «S₁₀». Вместо «n» подставим «10».

Используя формулу «n»-го члена арифметической прогрессии, запишем с её помощью пятый «а₅» и десятый «а₁₀» член.

Полученное выражение для «а₅» подставим в формулу суммы «S₅».

Полученное выражение для «а₁₀» подставим в формулу суммы «S₁₀».

Подставим в формулу вместо «S₅» число «65», которое было задано в условии задачи.

Вместо «S₁₀» — число «230».

Так как в обеих формулах у нас два неизвестных «а₁» и «d» и два уравнения с ними, остаётся только сделать из них систему уравнений и решить её.

	65 = 2а1 + 4d 2 · 5
	230 = 2а1 + 9d 2 · 10

Для удобства в обоих уравнениях поменяем левую и правую часть.

	2а1 + 4d 2 · 5 = 65
	2а1 + 9d 2 · 10 = 230

Разделим левую и правую часть первого уравнения на «5», а второго — на «10», чтобы их упростить.

	2а1 + 4d 2 · 5 = 65    | : 5
	2а1 + 9d 2 · 10 = 230    | : 10

	2а1 + 4d 2 · 5 5 = 65 5
	2а1 + 9d 2 · 10 10 = 230 10

	2а1 + 4d 2 · 5 5 = 6513 51
	2а1 + 9d 2 · 10 10 = 23023 101

	2а1 + 4d 2 = 13
	2а1 + 9d 2 = 23

Теперь в обоих уравнениях умножим левую и правую часть на «2», чтобы избавиться от «2» в знаменателях дробей.

	2а1 + 4d 2 = 13    | · 2
	2а1 + 9d 2 = 23    | · 2

	(2а1 + 4d) · 2 2 = 13 · 2
	(2а1 + 9d) · 2 2 = 23 · 2

	(2а1 + 4d) · 2 2 = 26
	(2а1 + 9d) · 2 2 = 46

	2а1 + 4d = 26
	2а1 + 9d = 46

Используем метод подстановки и выразим из первого уравнения «a₁».

Разделим левую и правую часть на «2».

Вынесем общий множитель в числителе правой части уравнения «26 − 4d».

Теперь подставим «а₁ = 13 − 2d» во второе уравнение, чтобы в нем осталось только неизвестное «d».

Перенесем числа в правую часть, а неизвестное оставим в левой.

Подставим в первое уравнение полученное «d = 4».

Ответ: a₁ = 5 ; d = 4

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Отправить

---