Карандаш и циркуль квадрат суммы надпись на парте покер фейс рисунок веселый смайлик надпись на парте грустный смайлик надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Умный человек создаёт больше возможностей, чем находит. Фрэнсис Бэкон
На главную страницу На главную страницу на главную

Решение систем неравенств

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

Прежде чем перейти к разбору темы «Как решать систему линейных неравенств» обязательно внимательно изучите урок «Как решать неравенства».

Потренируйтесь в решении неравенств, тогда с системами неравенств у вас не возникнет трудностей.

Важно! Галка

Системой неравенств называют два или более неравенства, которые объединены фигурной скобкой.

Рассмотрим пример системы неравенств.

x > 2
x > 5

Как видно на примере выше, систему неравенств легко определить по фигурной скобке.

Как решить систему неравенств

Запомните! !

Чтобы решить систему неравенств нужно:

  1. решить отдельно каждое неравенство;
  2. сравнить полученные решения каждого неравенства и получить общий ответ системы.

Вернемся к нашему примеру системы неравенств.

x > 2
x > 5

Так как оба неравенства в системе уже решены и представляют собою готовый ответ, то сразу переходим к поиску общего решения всей системы.

Для этого проведем две числовые оси (для каждого из неравенств свою). На осях заштрихуем результат решения неравенств.

Важно! Галка

Числовые оси с решениями нужно располагать друг под другом.

Числа на осях отмечают в порядке возрастания. То есть число «2» будет находиться левее «5».

x > 2
x > 5
решение каждого неравенства из системы

После того как мы построили числовые оси с решениями неравенств, необходимо провести через отмеченные на осях числа перпендикулярные прямые.

Запомните! !

При проведении прямых через точки на осях соблюдают следующие правила:

  1. если точка не входит в область решения («пустая» точка), то рисуют пунктирную линию; число не входит в решение неравенства
  2. если точка входит в область решения («заполненная» точка), то рисуют сплошную линию. число входит в решение неравенства

Проведем прямые через числовые точки на осях.

проводим прямые через точки неравенств

Для определения ответа найдем те области решения, которые удовлетворяют ответам обоим неравенствам. Другими словами, те области, где в обоих случаях области решений заштрихованы.

ответ к системе неравенств

Исходя из полученного анализа, мы получаем, что решением системы неравенств будет «x > 5». Запишем полученный ответ.

x > 2
x > 5
проводим прямые через точки неравенств

Ответ: x > 5


Рассмотрим другой пример системы неравенств.

x < 0
x ≥ − 2

Так как неравенства в системе снова представляют собой готовые ответы — сразу перейдем к поиску общего решения системы неравенств.

Нарисуем числовые оси для каждого неравенства и отметим на них решения. Проведем через каждое отмеченное число на осях прямую по правилам, описанным выше.

x < 0
x ≥ − 2
другой пример решения системы неравенств

Выберем те области решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

интервал решения системы неравенств

Как видно на рисунке выше, область решений, которая подходит для обоих неравенств, находится между числами «−2» и «0».

Когда область решений находится между двумя числами, принято записывать ответ с помощью двойного неравенства.

x < 0
x ≥ − 2
другой пример решения системы неравенств

Ответ: −2 ≤ x < 0


Запомните! !

Запись двойного неравенства используют, когда интервал решения системы неравенств лежит между числами.

Знаки сравнения («<» или «») в двойном неравенстве всегда смотрят влево.

Числа записываются в том же порядке, что они расположены на оси.

двойное неравенство

Другие примеры решения систем неравенств

В отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо предварительно решить каждое из неравенств.

Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения.

Решим линейные неравенства по правилам, описанным в уроке «Решение линейных неравенств». Затем найдем общий ответ системы.

5(x + 1) − x > 2x + 2
4(x + 1) − 2 ≤ 2(2x + 1) − x
5x + 5 − x > 2x + 2
4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x
5x − x + 5 > 2x + 2
4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x
4x + 5 > 2x + 2
4x + 2 ≤ 3x + 2
4x − 2x > 2 − 5
4x − 3x ≤ 2 − 2
2x > −3    | (:2)
x ≤ 0
2x (:2) > −3 (:2)
x ≤ 0
x > −
3
2
x ≤ 0
x > − 1
1
2
x ≤ 0
решение системы неравенств с преобразованием
Ответ: −1
1
2
< x ≤ 0

При решении систем неравенств, в которых есть неравенства, содержащие пропорцию, используем правило пропорции.

5(x + 1) ≤ 3(x + 3) + 1
2x − 1
7
x + 1
2
5x + 5 ≤ 3x + 9 + 1
(2x − 1) · 2 ≤ (x + 1) · 7
5x − 3x ≤ 10 − 5
4x − 2 ≤ 7x + 7
2x ≤ 5    
4x − 7x ≤ 7 + 2
2x ≤ 5           | (:2)
− 3x 9       | (:−3)
2x (:2) ≤ 5 (:2)
− 3x (:−3) 9 (:−3)
x ≤
5
2
x ≥ −3
x ≤ 2
1
2
x ≥ −3
решение системы неравенств с пропорцией
Ответ: −3 ≤ x ≤ 2
1
2