Карандаш и циркуль рок звезда надпись на парте квадрат суммы надпись на парте логарифм 2 по 8 надпись на парте мем овсянка

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Смейся с другими, но не над другими. Элберт Хаббард
На главную страницу На главную страницу на главную

Как избавиться от иррациональности

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо
Важно! Галка

Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.

  • 6
    2
      в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет;
  • 5
    6
      в знаменателе есть
    корень
    «6» — иррациональность в знаменателе есть.
  • 4
    73
      в знаменателе есть корни «7» и «3» — иррациональность есть.
  • a + b
    c − 3
      в знаменателе есть
    корень
    «c − 3» — иррациональность в знаменателе есть.
Запомните! !

Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.

Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?

Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.

Запомните! !

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.

По традиции разберемся на практике.

№ 366 (1)   Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

3
5

Зададим себе вопрос, на что нужно умножить «5» в знаменателе, чтобы избавиться от корня.

Ответ: на «5». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.

5 · 5 = 5 · 5 = 52 = 5

Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на «5», чтобы избавиться от корня в знаменателе.

3
5
=
3 · 5
5 · 5
=
3 · 5
5 · 5
=
3 · 5
52
=
=
3 · 5
5

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Запомните! !

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.

Разберемся по традиции на примере.

№ 366 (3)   Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

1
2 − 3

На что нужно умножить знаменатель «2 − 3», чтобы убрать из него корень?

Теперь недостаточно умножить знаменатель на «3», ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.

(2 − 3) · 3 = 233 · 3 =

= 23 − 3

Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.

Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.

(a + b)(a − b) = a2 − b2

Представим, что «2 − 3» — это часть формулы.

(a + b)(ab) = a2b2
(? + ?)(23) = ?2?2

Логично предположить, что в формуле «a» — это «2», «b» — «3». Подставим вместо знаков «?» числа.

(a + b)(a − b) = a2 − b2

(2 + 3)(2 − 3) = 2232 = 4 − 3 = 1

То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби требуется умножить знаменатель «2 − 3»
на «2 + 3» и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.

Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на «2 + 3».

1
2 − 3
=
1 · (2 + 3)
(2 − 3) · (2 + 3)
=
=
2 + 3
2232
=
2 + 3
4 − 3
=
2 + 3
1
= 2 + 3

Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе

№ 366 (2; 7)   Колягин, Алимов 9 класс

Исключить иррациональность из знаменателя:

2)
2
6

2
6
=
2 · 6
6 · 6
=
2 · 6
6 · 6
=
6
62
=
=
2 · 6
6

Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.

7)
57
5 + 7
=

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a2 − b2

Умножим и числитель, и знаменатель на «(57)», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.

57
5 + 7
=
(57)(57)
(5 + 7)(57)
=
=
(57)2
5272
= …

Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».

(a b)2 = a2 2ab + b2

57
5 + 7
=
(57)(57)
(5 + 7)(57)
=
=
(57)2
5272
=
=
(5)2 − 2 · 5 · 7 + (7)2
5272
=

=
5 − 25 · 7 + 7
5 − 7
=
12 − 235
2
=
=
12 − 235
2
= …

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь.

57
5 + 7
=
(57)(57)
(5 + 7)(57)
=
=
(57)2
5272
=

=
(5)2 − 2 · 5 · 7 + (7)2
5272
=
=
5 − 25 · 7 + 7
5 − 7
=
12 − 235
2
=

=
12 − 235
2
=
2 · (6 − 35)
2
=
=
2 (6 − 35)
2
=
= (6 − 35) = −6 + 35

№ 557 (5)   Мерзляк 9 класс

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

5)
1
ab

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a2 − b2

Умножим и числитель, и знаменатель на «(a + b)», чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.

5)
1
ab
=
1 · (a + b)
(ab) · (a + b)
=
=
a + b
(a)2 − (b)2
=
a + b
a − b