Карандаш и циркуль леонид из спарты надпись стирательная резинка график парабола на парте свойство степень в степени

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Если точно знаешь, что хочешь сказать, то скажешь хорошо. Гюстав Флобер
На главную страницу На главную страницу на главную

Как решать задачи на квадратичную функцию

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.


Как найти нули квадратичной функции

Запомните! !

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо «y» число ноль.

Рассмотрим задачу.

Найти нули квадратичной функции «y = x2 − 3».

Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное квадратное уравнение.

0 = x2 − 3
x2 − 3 = 0
x1;2 =
0 ± √02 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =
± √12
2

x1;2 =
± √4 · 3
2

x1;2 =
± 2√3
2

x1;2 = ±√3
x1 = √3 x2 = 3

Ответ: нули функции «y = x2 − 3» :      x1 = √3;      x2 = 3 .

Как найти при каких значениях «x» квадратичная функция принимает заданное числовое значение

Запомните! !

Чтобы найти при каких значениях «x» квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:

  • вместо «y» подставить в функцию заданное числовое значение;
  • решить полученное квадратное уравнение относительно «x».

Рассмотрим задачу.

При каких значениях «x» функция «y = x2 − x − 3» принимает значение «−3».

Подставим в исходную функцию «y = x2 − x − 3» вместо «y = −3» и найдем «x».

y = x2 − x − 3

−3 = x2 − x − 3
x2 − x − 3 = −3
x2 − x − 3 + 3 = 0
x2 − x = 0
x1;2 =
1 ± √12 − 4 · 1 · 0
2 · 1

x1;2 =
1 ± √1
2

x1;2 =
1 ± 1
2

x1 =
1 + 1
2
x2 =
1 − 1
2
x1 =
2
2
x2 =
0
2
x1 = 1 x2 = 0

Ответ: при «x = 0» и «x = 1» функция «y = x2 − x − 3» принимает значение «y = −3».


Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Запомните! !

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

  • приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся «x»);
  • решить полученное уравнение относительно «x»;
  • подставить полученные числовые значения «x» в любую из функций и найти координаты точек по оси «Оy».

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x2» и прямой «y = 3 − 2x».


Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно «x».

x2 = 3 − 2x
x2 − 3 + 2x = 0
x2 + 2x − 3 = 0
x1;2 =
2 ± √22 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =
2 ± √4 + 12
2

x1;2 =
2 ± √16
2

x1;2 =
2 ± 4
2

x1 =
2 + 4
2
x2 =
2 − 4
2
x1 =
6
2
x2 =
−2
2
x1 = 3 x2 = −1

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в «y = 3 − 2x») полученные числовые значения «x», чтобы найти координаты «y» точек пересечения.

1)   x = 3
y = 3 − 2x
y(3) = 3 − 2 · 3 = 3 − 6 = −3
(·) A (3; −3)
— первая точка пересечения.

2)   x = −1
y = 3 − 2x
y(−1) = 3 − 2 · (−1) = 3 + 2 = 5
(·) B (−1; 5)
— вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы «y = x2» и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (3; −3) и (·) B (−1; 5).


Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Запомните! !

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси «Ox» вместо «x», а координату по оси «Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Рассмотрим задачу:

Не строя графика функции «y = x2», определить, какие точки принадлежат ему: (·) А(2; 6),     (·) B(−1; 1).

Подставим в функцию «y = x2» координаты точки (·) А(2; 6).

y = x2
6 = 22
6 = 4
(неверно)

Значит, точка (·) А(2; 6) не принадлежит графику функции «y = x2».

Подставим в функцию «y = x2» координаты точки (·) B(−1; 1).

y = x2
1 = (−)12
1 = 1
(верно)

Значит, точка (·) B(−1; 1) принадлежит графику функции «y = x2».


Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Рассмотрим задачу

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x2 −3x + 2» с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox». На графике функции эти точки выглядят так:

точки пересечения с осью Ox

Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox» равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в исходную функцию «y = x2 −3x + 2» и найдем их координаты по оси «Ox».

0 = x2 −3x + 2
x2 −3x + 2 = 0
x1;2 =
3 ± √32 − 4 · 1 · 2
2 · 1

x1;2 =
3 ± √9 − 8
2

x1;2 =
3 ± √1
2

x1;2 =
3 ± 1
2

x1 =
3 + 1
2
x2 =
3 − 1
2
x1 =
4
2
x2 =
2
2
x1 = 2 x2 = 1

Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0).

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».

точки пересечения с осью Oy

Как видно на рисунке выше, координата «x» точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.

Подставим «x = 0» в исходную функцию «y = x2 −3x + 2» и найдем координату точки по оси «Oy».

y(0) = 02 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью «Ox»: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).


Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает значения» — речь идет о значениях«y» . Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях «x», координата «y» положительна или отрицательна.

Запомните! !

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

  • провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось «Ox»;
  • определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
  • записать ответ для каждого промежутка относительно «x».

Рассмотрим задачу.

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.

положительные и отрицательные значения функциии

Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.

положительные и отрицательные значения функциии с доп. прямыми

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

положительные и отрицательные значения на графике

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает «x» в каждой из выделенных областей.

положительные и отрицательные значения на графике c подписью относительно x

Ответ: при «x < −1» и «x > 2» функция принимает отрицательные значения; при «−1 < x < 2» функция принимает положительные значения.