Карандаш и циркуль нарисованный автобус ручкой 7 умножить на 8 на парте sin(x) = 1 за что?! надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями мысли, а не памятью. Л.Н. Толстой
На главную страницу На главную страницу на главную

Квадратичная функция. Парабола

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Запомните! !

Квадратичная функция — это функция вида

y = ax2 + bx + c,
где a, b и с — заданные числа.

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит «x» — это «2», то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a», «b» и «с».

Квадратичная функция Коэффициенты
y = 2x2 − 7x + 9
  • a = 2
  • b = −7
  • с = 9
y = 3x2 − 1
  • a = 3
  • b = 0
  • с = −1
y = −3x2 + 2x
  • a = −3
  • b = 2
  • с = 0

Как построить график квадратичной функции

Запомните! !

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

парабола - график квадратичной функции

Также парабола может быть перевернутой.

перевернутая парабола

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции «y = x2 −7x + 10».

  1. Направление ветвей параболы
    Запомните! !

    Если «a > 0», то ветви направлены вверх. парабола маленькая

    Если «a < 0», то ветви направлены вниз. перевернутая парабола маленькая

    В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх. перевернутая парабола мальнькая

  2. Координаты вершины параболы
    Запомните! !

    Чтобы найти «x0» (координата вершины по оси «Ox») нужно использовать формулу:

    x0 =
    −b
    2a

    Найдем «x0» для нашей функции «y = x2 −7x + 10».

    x0 =
    − (−7)
    2 · 1
    =
    7
    2
    = 3,5

    Теперь нам нужно найти «y0» (координату вершины по оси «Oy»). Для этого нужно подставить найденное значение «x0» в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».

    y0(3,5) = (3,5)2 − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 = −12,25 + 10 = −2,25

    Выпишем полученные координаты вершины параболы.

    (·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

    Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси «Oy».

    вершина параболы
  3. Нули функции

    Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

    Запомните! !

    Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox» (осью абсцисс).

    Наглядно нули функции на графике выглядят так:

    нули функции

    Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси «Oy» равна нулю.

    Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

    Запомните! !

    Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо «y = 0».

    Подставим в заданную функцию «y = x2 −7x + 10» вместо «y = 0» и решим полученное квадратное уравнение относительно «x» .

    0 = x2 −7x + 10
    x2 −7x + 10 = 0
    x1;2 =
    7 ± √49 − 4 · 1 · 10
    2 · 1

    x1;2 =
    7 ± √9
    2

    x1;2 =
    7 ± 3
    2

    x1 =
    7+ 3
    2
    x2 =
    7 3
    2
    x1 =
    10
    2
    x2 =
    4
    2
    x1 = 5 x2 = 2

    Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью «Ox». Назовем эти точки и выпишем их координаты.

    • (·) B (5; 0)
    • (·) C (2; 0)

    Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

    отмечаем нули функции на системе координат
  4. Дополнительные точки для построения графика

    Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x». Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox», которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

    x 1 3 4 6
    y

    Для каждого выбранного значения «x» рассчитаем «y».

    • y(1) = 12 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 = 4
    • y(3) = 32 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 = −2
    • y(4) = 42 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 = −2
    • y(6) = 62 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 = 4

    Запишем полученные результаты в таблицу.

    x 1 3 4 6
    y 4 −2 −2 4

    Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

    дополнительные точки для построения

    Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.

    график параболы

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции «y = −3x2 − 6x − 4».

  1. Направление ветвей параболы
  2. «a = −3» — ветви параболы направлены вниз. перевернутая парабола маленькая

  3. Координаты вершины параболы
    x0 =
    −b
    2a

    x0 =
    −(−6)
    2 · (−3)
    =
    6
    −6
    = −1

    y0(−1) = (−3) · (−1)2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1

    (·) A (−1; −1)
    — вершина параболы.
    вершина параболы -3x^2 - 6x - 4
  4. Нули функции

    Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).

    0 = −3x2 − 6x − 4

    −3x2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)

    3x2 + 6x + 4 = 0

    x1;2 =
    −6 ± √62 − 4 · 3 · 4
    2 · 1

    x1;2 =
    −6 ± √36 − 48
    2

    x1;2 =
    −6 ± √−12
    2

    Ответ: нет действительных корней.

    Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось «Ox».

  5. Вспомогательные точки для: «x = −3»; «x = −2»; «x = 0»; «x = 1». Подставим в исходную функцию «y = −3x2 − 6x − 4».

    • y(−3) = −3 · (−3)2 − 6 · (−3) − 4 = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13

    • y(−2) = −3 · (−2)2 − 6 · (−2) − 4 = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4

    • y(0) = −3 · 02 − 6 · 0 − 4 = −4

    • y(1) = −3 · 12 − 6 · 1 − 4 = −3 −6 − 4 = −13
    x −3 −2 0 1
    y −13 −4 −4 −13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки «(−2; −4)» и «(0; −4)». Построим и подпишем график функции.

график функции -3x^2 - 6x - 4