Карандаш и циркуль бэтман ручкой за что?! надпись на парте нарисованный самолет ручкой лицо джокера

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Не браните погоду — если бы она не менялась, девять человек из десяти не смогли бы начать ни одного разговора.Фрэнк Хаббард
На главную страницу На главную страницу на главную

Как решать
квадратные уравнения

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

В предыдущих уроках мы разбирали «Как решать линейные уравнения», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно! Галка

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2», значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

  • 5x2 − 14x + 17 = 0
  • −x2 + x +
    1
    3
    = 0
  • x2 + 0,25x = 0
  • x2 − 8 = 0
Важно! ГалкаОбщий вид квадратного уравнения выглядит так:
ax2 + bx + c = 0
«a», «b» и «c» — заданные числа.
  • «a» — первый или старший коэффициент;
  • «b» — второй коэффициент;
  • «c» — свободный член.

Чтобы найти «a», «b» и «c» нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a», «b» и «c» в квадратных уравнениях.

Уравнение Коэффициенты
5x2 − 14x + 17 = 0
  • a = 5
  • b = −14
  • с = 17
−7x2 − 13x + 8 = 0
  • a = −7
  • b = −13
  • с = 8
−x2 + x +
1
3
= 0
  • a = −1
  • b = 1
  • с =
    1
    3
x2 + 0,25x = 0
  • a = 1
  • b = 0,25
  • с = 0
x2 − 8 = 0
  • a = 1
  • b = 0
  • с = −8

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней.

Запомните! !

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

  • привести квадратное уравнение к общему виду «ax2 + bx + c = 0». То есть в правой части должен остаться только «0»;
  • использовать формулу для корней:
x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

x2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax2 + bx + c = 0» и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения.

Определим коэффициенты «a», «b» и «c» для этого уравнения.

Уравнение Коэффициенты
x2 − 3x − 4 = 0
  • a = 1
  • b = −3
  • с = −4

Подставим их в формулу и найдем корни.

x2 − 3x − 4 = 0
x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a

x1;2 =
−(−3) ± √(−3)2 − 4 · 1· (−4)
2 · 1

x1;2 =
3 ± √9 + 16
2

x1;2 =
3 ± √25
2

x1;2 =
3 ± 5
2

x1 =
3 + 5
2
x2 =
3 5
2
x1 =
8
2
x2 =
−2
2
x1 = 4 x2 = −1

Ответ: x1 = 4; x2 = −1
Важно! Галка

Обязательно выучите наизусть формулу для нахождения корней.

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a
» часто заменяют подкоренное выражение
«b2 − 4ac» на букву «D» и называют дискриминантом. Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a», «b» и «c» довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax2 + bx + c = 0».

Используем правило переноса и упростим подобные члены.

x2 + 9 + x = 7x
x2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

x1;2 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4 · 1 · 9
2 · 1

x1;2 =
6 ± √36 − 36
2

x1;2 =
6 ± √0
2

x1;2 =
6 ± 0
2

x =
6
2

x = 3

Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Мы помним из определения квадратного корня о том, что извлекать квадратный корень из отрицательного числа нельзя.

Рассмотрим пример квадратного уравнения, у которого нет корней.

5x2 + 2x = − 3
5x2 + 2x + 3 = 0
x1;2 =
−2 ± √22 − 4 · 3 · 5
2 · 5

x1;2 =
−2 ± √4 − 60
10

x1;2 =
−2 ± √−56
10

Ответ: нет действительных корней.

Итак, мы получили ситуацию, когда под корнем стоит отрицательное число. Это означает, что в уравнении нет корней. Поэтому в ответ мы так и записали «Нет действительных корней».

Важно! Галка

Что означают слова «нет действительных корней»? Почему нельзя просто написать «нет корней»?

На самом деле корни в таких случаях есть, но в рамках школьной программы они не проходятся, поэтому и в ответ мы записываем, что среди действительных чисел корней нет. Другими словами «Нет действительных корней».

Неполные квадратные уравнения

Иногда встречаются квадратные уравнения, в которых отсутсвуют в явном виде коэффициенты «b» и/или «c». Как например, в таком уравнении:

4x2 − 64 = 0

Такие уравнения называют неполными квадратными уравнениями. Как их решать рассмотрено в уроке «Неполные квадратные уравнения».