Карандаш и циркуль Цой жив! она жует свой орбит без сахара надпись на парте бендер рисунок на парте алукард рисунок на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Лучше дважды спросить, чем один раз напутать. Шолом Алейхем
На главную страницу На главную страницу на главную

Отрицательная степень

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо

Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».

Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.

Как возвести число в отрицательную степень

Запомните! !

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

  • «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
  • заменить отрицательную степень на положительную;
  • возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

a−n =
1
an
,где a ≠ 0, n ∈ z (n принадлежит целым числам).

Примеры возведения в отрицательную степень.

  • 6−2 =
    1
    62
    =
    1
    36
  • (−3)−3 =
    1
    (−3)3
    =
    1
    −27
    =
    1
    27
  • 0,2−2 =
    1
    0,22
    =
    1
    0,04
Запомните! !

Любое число в нулевой степени — единица.

a0 = 1 ,где a ≠ 0

Примеры возведения в нулевую степень.

  • (
    2
    3
    )0 = 1
  • (−5)0 = 1

  • d0 = 1

Как найти 10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

10−1 = 0,1

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему «10» в минус первой степени равно «0,1».

Возведем «10−1» по правилам отрицательной степени. Перевернем «10» и запишем её в виде дроби «
1
10
» и заменим отрицательную степень «−1» на
положительную степень «1».
10−1 =
1
101

Возведем «10» в «1» степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

10−1 =
1
101
=
1
10

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

10−1 =
1
101
=
1
10
= 0,1

По такому же принципу можно найти «10» в минус второй, третьей и т.д.

10−2 = 0,01

10−3 = 0,001

10−4 = 0,0001
Запомните! !

Для упрощения перевода «10» в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один».

Проверим правило выше для «10−2».

Т.к. у нас степень «−2», значит, будет всего один ноль (положительное значение степени «2 − 1 = 1». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним «1».

10−2 = 0,01

Рассмотрим «10−1».

Т.к. у нас степень «−1», значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени «1 − 1 = 0». Сразу после запятой ставим «1».

10−1 = 0,1

То же самое правило работает и для «10−12». При переводе в десятичную дробь будет «12 − 1 = 11 » нулей и «1» в конце.

10−12 = 0,000 000 000 001

Как возвести в отрицательную степень дробь

Запомните! !

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

  • «перевернуть» дробь;
  • заменить отрицательную степень на положительную;
  • возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

(
10
3
)−3 =
Перевернем дробь «
10
3
» и заменим отрицательную степень «−3» на положительную «3».
(
10
3
)−3 = (
3
10
)3

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель «3», и знаменатель «10» в третью степень.

(
10
3
)−3 = (
3
10
)3 =
33
103
=
27
1000

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

(
10
3
)−3 = (
3
10
)3 =
33
103
=
27
1000
= 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Запомните! !

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное.

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное.

Пример.

(−5) −2 =

Перевернем число «−5» и заменим отрицательную степень «−2»
на положительную «2».

(−5) −2 = (−
1
5
) 2 =

Так как степень «2» — четная, значит, результат возведения в степень будет положительный. Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель «1»,
и знаменатель «5».

(−5) −2 = (−
1
5
) 2 =
12
52
=
1
25

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Запомните! !

Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная.

Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная.

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь «(−
2
3
)
» в «−3» степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень «−3» на положительную «3».

(−
2
3
) −3 = (−
3
2
) 3 =

Теперь определим конечный знак результата возведения в «3» степень.

Степень «3» — нечетная, значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной.

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель «3», и знаменатель «2» в третью степень.

(−
2
3
) −3 = (−
3
2
) 3 =
33
23
=
27
8

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

(−
2
3
) −3 = (−
3
2
) 3 =
33
23
=
27
8
= 3
3
4

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная, значит, результат возведения будет положительным.

(−
9
11
) −2 = (−
11
9
) 2 =
112
92
=
121
81
= 1
40
81

Свойства отрицательной степени

Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.

В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.

Запомните! !
  • am · an = am + n

  • am
    an
    = am n

  • (an)m = an · m

  • (a · b)n = an · bn

Примеры решений заданий с отрицательной
степенью

Колягин 9 класс. Задание № 1

Представить в виде степени.

2) a6 · b6 = (ab)6

4) (c5)2 = c10

Колягин 9 класс. Задание № 5

Записать в виде степени с отрицательным числом.

1)
1
45
= 4−5
2)
1
a9
= a−9

Колягин 9 класс. Задание № 11

Вычислить.

3)   (
2
13
) −12 : (
2
13
) 2 = (
13
2
) 12 · (
2
13
) 2 = (
13
2
) 12 · (
2
13
) 2 =
1312
212
·
22
132
=
1312 · 22
212 · 132
=
=
1312 · 22
132 · 212
=
1312
132
·
22
212
= 1312 − 2 · 22 − 12 = 1310 · 2−10 = 1310 ·
1
210
=
1310 · 1
210
=
=
1310
210
= (
13
2
) 10

Колягин 9 класс. Задание № 14

Выполнить действия.

3) (
2x6
3y−4
) 2 =
22x6 · 2
32y−4 · 2
=
4x12
9y−8