Карандаш и циркуль символ дедпула логарифм 2 по 8 надпись на парте дары смерти надпись на парте 6 умножить на 7 на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математическое доказательство. Леонардо да Винчи
На главную страницу На главную страницу на главную

Линейная функция «y = kx + b» и её график

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо

Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx» внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Важно! Галка

Функцию вида «y = kx + b» называют линейной функцией.

Буквенные множители «k» и «b» называют числовыми коэффициентами.

Вместо «k» и «b» могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо «k» и «b» стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b».

  • y = 5x + 3
  • y = −x + 1
  • y =
    2
    3
    x − 2
  • y = 0,5x

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Функция Коэффициент «k» Коэффициент «b»
y = 5x + 3 k = 5 b = 3
y = −x + 1 k = −1 b = 1
y =
2
3
x − 2
k =
2
3
b = −2
y = 0,5x k = 0,5 b = 0

Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x» в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».

Рассматривая функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента «b» в функции нет.

Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда. В функции «y = 0,5x» числовый коэффициент «b» равен нулю.

Как построить график линейной функции
«y = kx + b»

Запомните! !

Графиком линейной функции «y = kx + b» является прямая.

Так как графиком функции «y = kx + b» является прямая линия, функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера построим график функции «y = −2x + 1».

Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x». Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

Важно! Галка

Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа «0» и «1». С этими числами легко выполнять расчеты.

x Расчет «y = −2x + 1»
0 y(0) = −2 · 0 + 1 = 1
1 y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.

Точка Координата по оси «Оx» (абсцисса) Координата по оси «Оy» (ордината)
(·)A 0 1
(·)B 1 −1

Отметим полученные точки на системе координат.

точки графика функции y = -2x + 1

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции «y = −2x + 1».

график функции y = -2x + 1

Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»

Рассмотрим задачу.


Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:

  1. значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
  2. значение «x», если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.

Вначале построим график функции «y = 2x + 3».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа «0» и «1».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка Координата
по оси «Оx»
Координата
по оси «Оy»
(·)A 0 y(0) = 2 · 0 + 3 = 3
(·)B 1 y(1) = 2 ·1 + 3 = 5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

точки графика функции y = 2x + 3

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции «y = 2x + 3».

график функции y = 2x + 3

Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».

Требуется найти значение «y», соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.


Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Запомните! !

Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике функции необходимо:

  1. провести перпендикуляр от оси «Ox» (ось абсцисс) из заданного числового значения «x» до пересечения с графиком функции;
  2. из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси «Oy» (ось ординат);
  3. полученное числовое значение на оси «Oy» и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3» необходимые значения функции «y» для «x» равным −1; 2; 3; 5.

найти значения y по известным значениям x

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «x» Полученное с графика значение «y»
−1 1
2 7
3 9
5 13

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x», если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.


Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси «Oy».

найти значения x по известным значениям y

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «y» Полученное с графика значение «x»
−1 −2
0 −1,5
1 −1
4 0,5

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции «y = 2x −
1
3
», выяснить, проходит ли график через точки с координатами (0; −
1
3
)
и (1; −2).
Запомните! !

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси «Ox» вместо «x», а координату по оси «Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.
Подставим в функцию «y = 2x −
1
3
» координаты точки (0; −
1
3
)
.
1
3
= 2 · 0 −
1
3

   −
1
3
= −
1
3
(верно)
Это означает, что график функции «y = 2x −
1
3
» проходит через точку с координатами (0; −
1
3
)
.
Проверим точку с координатами (1; −2). Также подставим координаты
в функцию «y = 2x −
1
3
».
−2 = 2 · 1 −
1
3

−2 = 2 −
1
3

−2 = 1
3
3
1
3

        −2 = 1
2
3
(неверно)
Это означает, что график функции «y = 2x −
1
3
» не проходит через точку с координатами (1; −2).

Как найти точки пересечения графика с осями

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.


Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции «y = −1,5x + 3».

Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение «y» по формуле функции. Например, для x = 0 и x = 1.

Точка Координата
по оси «Оx»
Координата
по оси «Оy»
(·)A 0 y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(·)B 1 y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».

точки пересечения графика функции с осями

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Запомните! !

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью «Oy» (осью ординат) нужно:

  • приравнять координату точки по оси «Ox» к нулю (x = 0);
  • подставить вместо «x» в формулу функции ноль и найти значение «y»;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy».

Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» c осью «Oy».
Запомните! !

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью «Ox» (осью абсцисс) нужно:

  • приравнять координату точки по оси «Oy» к нулю (y = 0);
  • подставить вместо «y» в формулу функции ноль и найти значение «x»;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy».

Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

0 = −1,5x + 3        
1,5x = 3        | :(1,5)
x = 3 : 1,5           
x = 2                   

(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» c осью «Ox».

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

Важно! Галка

Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью «Ox», то приравниваем «y» к нулю.

И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью «Oy», то приравниваем «x» к нулю.