Карандаш и циркуль 11 в квадрате надпись не спать бэтман ручкой за что?! надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Всегда практика должна быть воздвигнута на хорошей теории, ворота которой — перспектива. Леонардо да Винчи
На главную страницу На главную страницу на главную

Линейная функция «y = kx + b» и её график

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx» внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Важно! Галка

Функцию вида «y = kx + b» называют линейной функцией.

Буквенные множители «k» и «b» называют числовыми коэффициентами.

Вместо «k» и «b» могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо «k» и «b» стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b».

  • y = 5x + 3
  • y = −x + 1
  • y =
    2
    3
    x − 2
  • y = 0,5x

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Функция Коэффициент «k» Коэффициент «b»
y = 5x + 3 k = 5 b = 3
y = −x + 1 k = −1 b = 1
y =
2
3
x − 2
k =
2
3
b = −2
y = 0,5x k = 0,5 b = 0

Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x» в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».

Рассматривая функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента «b» в функции нет.

Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда. В функции «y = 0,5x» числовый коэффициент «b» равен нулю.

Как построить график линейной функции
«y = kx + b»

Запомните! !

Графиком линейной функции «y = kx + b» является прямая.

Так как графиком функции «y = kx + b» является прямая линия, функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера построим график функции «y = −2x + 1».

Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x». Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

Важно! Галка

Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа «0» и «1». С этими числами легко выполнять расчеты.

x Расчет «y = −2x + 1»
0 y(0) = −2 · 0 + 1 = 1
1 y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.

Точка Координата по оси «Оx» (абсцисса) Координата по оси «Оy» (ордината)
(·)A 0 1
(·)B 1 −1

Отметим полученные точки на системе координат.

точки графика функции y = -2x + 1

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции «y = −2x + 1».

график функции y = -2x + 1

Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»

Рассмотрим задачу.


Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:

  1. значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
  2. значение «x», если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.

Вначале построим график функции «y = 2x + 3».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа «0» и «1».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка Координата
по оси «Оx»
Координата
по оси «Оy»
(·)A 0 y(0) = 2 · 0 + 3 = 3
(·)B 1 y(1) = 2 ·1 + 3 = 5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

точки графика функции y = 2x + 3

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции «y = 2x + 3».

график функции y = 2x + 3

Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».

Требуется найти значение «y», соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.


Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Запомните! !

Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике функции необходимо:

  1. провести перпендикуляр от оси «Ox» (ось абсцисс) из заданного числового значения «x» до пересечения с графиком функции;
  2. из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси «Oy» (ось ординат);
  3. полученное числовое значение на оси «Oy» и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3» необходимые значения функции «y» для «x» равным −1; 2; 3; 5.

найти значения y по известным значениям x

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «x» Полученное с графика значение «y»
−1 1
2 7
3 9
5 13

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x», если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.


Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси «Oy».

найти значения x по известным значениям y

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «y» Полученное с графика значение «x»
−1 −2
0 −1,5
1 −1
4 0,5

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции «y = 2x −
1
3
», выяснить, проходит ли график через точки с координатами (0; −
1
3
)
и (1; −2).
Запомните! !

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси «Ox» вместо «x», а координату по оси «Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.
Подставим в функцию «y = 2x −
1
3
» координаты точки (0; −
1
3
)
.
1
3
= 2 · 0 −
1
3

   −
1
3
= −
1
3
(верно)
Это означает, что график функции «y = 2x −
1
3
» проходит через точку с координатами (0; −
1
3
)
.
Проверим точку с координатами (1; −2). Также подставим координаты
в функцию «y = 2x −
1
3
».
−2 = 2 · 1 −
1
3

−2 = 2 −
1
3

−2 = 1
3
3
1
3

        −2 = 1
2
3
(неверно)
Это означает, что график функции «y = 2x −
1
3
» не проходит через точку с координатами (1; −2).

Как найти точки пересечения графика с осями

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.


Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции «y = −1,5x + 3».

Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение «y» по формуле функции. Например, для x = 0 и x = 1.

Точка Координата
по оси «Оx»
Координата
по оси «Оy»
(·)A 0 y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(·)B 1 y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».

точки пересечения графика функции с осями

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Запомните! !

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью «Oy» (осью ординат) нужно:

  • приравнять координату точки по оси «Ox» к нулю (x = 0);
  • подставить вместо «x» в формулу функции ноль и найти значение «y»;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy».

Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» c осью «Oy».
Запомните! !

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью «Ox» (осью абсцисс) нужно:

  • приравнять координату точки по оси «Oy» к нулю (y = 0);
  • подставить вместо «y» в формулу функции ноль и найти значение «x»;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy».

Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

0 = −1,5x + 3        
1,5x = 3        | :(1,5)
x = 3 : 1,5           
x = 2                   

(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» c осью «Ox».

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

Важно! Галка

Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью «Ox», то приравниваем «y» к нулю.

И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью «Oy», то приравниваем «x» к нулю.