Карандаш и циркуль леонид из спарты надпись 11 в квадрате надпись разность квадратов надпись на парте Уолтер Вайт

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

30 минут занятий в день заменяют двое бессонных суток перед экзаменом. Администратор
На главную страницу На главную страницу на главную

Сложение и вычитание алгебраических дробей

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

Алгебраические дроби складывают и вычитают по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните! !

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Нельзя складывать дроби без преобразований

нельзя складывать алгебраические дроби

Можно складывать дроби

можно складывать алгебраические дрои

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

  1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
  2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

пример сложения алгебраических дробей

Так как знаменатель у обеих дробей «», значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные.

решенный пример сложения алгебраических дробей

Вычитание алгебраических дробей

Запомните! !

Вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

  1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
  2. знаменатель остаётся прежним.
Важно! Галка

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

пример вычитания алгебраических дробей

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «», значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби «(a − b)». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок.

решенный пример вычитания алгебраических дробей

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

сложение алгебраических дробей с разными знаменателями

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

  1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
  2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
  3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
  4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

сложение алгебраических дробей с разными знаменателями

Рассмотрим знаменатели «15a» и «3» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

  1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15» и «3» — это «15».
  2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a» и «5» есть только
    один одночлен — «а».
  3. Перемножим НОК из п.1 «15» и одночлен «а» из п.2. У нас получится «15a». Это и будет общим знаменателем.
  4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a»?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a», значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3», чтобы получить «15a»?» Ответ — на «5a».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a» и числитель, и знаменатель.

приведение алгебраической дроби к общему знаменателю

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики».

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

приведение к общему знаменателю алгебраических дробей

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

решение примера сложения алгебраических дробей с разными знаменателями

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.

Рассмотрим знаменатели «(x − y)» и «(x + y)» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

  1. Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
  2. Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их.
    Важно! Галка

    Многочлены необходимо рассматривать целиком! Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y)» и «(x + y)». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y)» — общий знаменатель. вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.

 решение примера вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

алгебраических дроби и формулы сокращенного умножения

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p2 − 36)». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов.

разложение знаменателя по формуле разность квадратов

После разложения многочлена «(p2 − 36)» на произведение многочленов
«(p + 6)(p − 6)» видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6)». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6)».

алгебраических дроби и формулы сокращенного умножения решение
Важно! Галка

Прежде чем приводить многочлены к общему знаменателю, попытайтесь использовать формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки.

Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.

алгебраических дроби и формулы сокращенного умножения другой пример

Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки

алгебраических дроби и вынесение общего множителя за скобки

На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.

Вынесем общий множитель «а» за скобки в обоих знаменателях.

вынесение общего множителя за скобки в знаменателе

После вынесения общего множителя «а» за скобки, в обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «а». Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».

алгебраических дроби и вынесение общего множителя за скобки решение примера

Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом

Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).

Сложение алгебраической дроби с буквой

Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью, нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «1».

Представим одночлен «а» как алгебраическую дробь со знаменателем «1».

Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.

одночлен как алгебраическую дробь

Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.

Сложение алгебраической дроби с буквой решение примера