Карандаш и циркуль че такой серьезный надпись макс пэйн надпись на парте квадрат разности надпись на парте ничоси мем на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Не браните погоду — если бы она не менялась, девять человек из десяти не смогли бы начать ни одного разговора.Фрэнк Хаббард
На главную страницу На главную страницу на главную

Теорема Виета

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью формулы для корней можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в определении коэффициентов «a», «b» и «с» в квадратных уравнениях. Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Запомните! !

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом:

x2 + px + q = 0

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0» в том, что в приведённом уравнении «x2 + px + q = 0» коэффициент «а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x2 + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0», то становится видно,
что «p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Уравнение Коэффициенты Вывод
x2 − 7x + 1 = 0
  • a = 1
  • p = −7
  • q = 1

Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета.

3x2 − 1 + x = 0

Приведем уравнение к общему виду:

3x2 + x − 1 = 0
  • a = 3
  • p = 1
  • q = −1

Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета.

−x2 = −3 + 2x

Приведем уравнение к общему виду:

−x2 + 3 − 2x = 0
−x2 − 2x + 3 = 0
  • a = −1
  • p = −2
  • q = 3

Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Запомните! !

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

x1 + x2 = −p
x1 · x2 = q
, где «x1» и «x2» — корни этого уравнения.

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» — значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».


Рассмотрим пример.

x2 + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение считается приведённым, значит, можно использовать метод Виета. Выпишем коэффициенты «p» и «q».

  • p = 4
  • q = −5

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

x1 + x2 = 4
x1 · x2 = −5

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения «x1 = −5» и «x2 = 1». Запишем ответ.

Ответ: x1 = −5; x2 = 1


Рассмотрим другой пример.

x2 + x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

x1 + x2 = 1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1 = −3» и «x2 = 2». Запишем ответ.

Ответ: x1 = −3; x2 = 2

Важно! Галка

Если у вас не получается решить уравнение с помощью теоремы Виета, не отчаивайтесь. Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней.


Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x2 − 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2», поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2». Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x2 − 16x − 18 = 0            | (:2)
2x2(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x2 − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

x1 + x2 = (−8)
x1 · x2 = −9
x1 + x2 = 8
x1 · x2 = −9

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1 = 9» и «x2 = −1». Запишем ответ.

Ответ: x1 = 9; x2 = −1


Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x1» и «x2» квадратного уравнения «x2 + px + 3 = 0» удовлетворяют условию «x2 = 3x1». Найти «p», «x1», «x2».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

x2 + px + 3 = 0
x1 + x2 = −p
x1 · x2 = 3

По условию дано, что «x2 = 3x1». Подставим это выражение в систему вместо «x2».

x1 + 3x1 = −p
x1 · 3x1 = 3
4x1 = −p
3x12 = 3     |(:3)
4x1 + p = 0
x12 = 1
p = −4x1
x12 = 1

Решим полученное квадратное уравнение «x12 = 1» методом подбора и найдем «x1».

   x12 = 1
  • (Первый корень) x1 = 1
  • (Второй корень) x1 = −1

Мы получили два значения «x1». Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x1 = 1
Найдем «x2»
x1 · x2 = 3
1 · x2 = 3
x2 = 3
Найдем «p»
x1 + x2 = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;

(Второй корень) x1 = −1
Найдем «x2»
x1 · x2 = 3
−1 · x2 = 3
                 −x2 = 3         | ·(−1)
x2 = −3
Найдем «p»
x1 + x2 = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4

Ответ: (x1 = 1; x2 = 3; p = −4)     и     (x1 = −1; x2 = −3; p = 4)

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений, где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

x1 + x2 =
−p
a
x1 · x2 =
q
a

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3x2 + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

x1 + x2 =
−3
3
x1 · x2 =
−18
3
x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1 = −3» и «x2 = 2». Запишем ответ.

Ответ: x1 = −3; x2 = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в которых «a = 1». Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.