Карандаш и циркуль квадрат суммы надпись на парте алукард рисунок на парте факториал трех веселый смайлик надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Счет и вычисления — основа порядка в голове.Иоганн Генрих Песталлоци
На главную страницу На главную страницу на главную

Квадратный корень из произведения

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо
Запомните! !

Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

a · b = a · b

Свойство действует и в обратную сторону: произведение корней равно корню из произведения этих множителей.

a · b = a · b

Как найти квадратный корень из произведения

Алимов 9 класс № 340 (1, 4)

Вычислить:
1) 49 · 25 = 49 · 25 = 7 · 5 = 35

4)256 · 0,25 · 81 =
= 256 · 0,25 · 81 =
= 16 · 0,25 · 81 = …

Вспомнить порядок извлечения квадратного корня из десятичной дроби 0,25 можно в уроке «Что такое квадратный корень», а правила умножения десятичных дробей в уроке «Умножение десятичных дробей».

256 · 0,25 · 81 = 256 · 0,25 · 81 =
= 16 · 0,25 · 81 = 16 · 0,5 · 9 =
= 8 · 9 = 72

Алимов 9 класс № 343 (2, 5)

Вычислить:
2) 10 · 90 = …

Используем для решения обратное свойство квадратного корня из произведения.

a · b = a · b

10 · 90 = 10 · 90 = 900 = 30

5)
символ квадратного корня
1
2
  ·
символ квадратного корня
2
3
  · 3 =
символ квадратного корня
1
2
 · 
2
3
 ·  3
= …

Для дальнейшего решения применим правила умножения обыкновенных дробей.

символ квадратного корня
1
2
  ·
символ квадратного корня
2
3
  · 3 =
=
символ квадратного корня
1
2
 · 
2
3
 ·  3
=
символ квадратного корня
1
2
 · 
2
3
 · 
3
1
=
=
символ квадратного корня
1 · 2 · 3
2 · 3 · 1
= …

Сократим полученную дробь под корнем.

… =
символ квадратного корня
1 · 2 · 3
2 · 3 · 1
=
символ квадратного корня
1 · 2 · 3
2 · 3 · 1
= 1 = 1

Квадратный корень из единицы равен единице 1 = 1.


Внимание: частая ошибка!
Неправильное использование квадратного корня из произведения

Запомните! !

Важно запомнить следующее правило: свойство квадратного корня из произведения можно применять, только если под корнем действие умножения.

a · b = a · b    — верно

Если под корнем есть сумма и (или) вычитание, то применять формулу НЕЛЬЗЯ!

a + b a + b    — неверно

a b a b    — неверно

Разберёмся по традиции на примере. Требуется вычислить.

82 2 − 18 2 = …

После изучения формулы корня из произведения первым желанием является сделать так:

82 2 − 18 2 82 218 2    — неверно

Это неверно. Свойство
   «a · b = a · b »    НЕЛЬЗЯ использовать в данном примере, т.к. под корнем есть знак вычитания «», т.е. действие вычитания.

Выполним последовательно действия под корнем и вычислим из полученного результата квадратный корень.

82 2 − 18 2 = 6724 − 324 = 6400 =
= 80

Подобные примеры можно решать другим способом через формулу разности квадратов.

(a2 − b2) = (a − b)(a + b)

82 2 − 18 2 = (82 − 18)(82 + 18) =
= 64 · 100 = …

Обратите внимание, что сейчас под знаком корня осталось только произведение. Следовательно, мы можем применить свойство корня из произведения.

a · b = a · b

82 2 − 18 2 = (82 − 18)(82 + 18) =
= 64 · 100 = 64 · 100 = 8 · 10 = 80

Мы получили такой же результат, как и в первом варианте решения.

Алимов 9 класс № 340 (2)

2) 0,01 · 169 = 0,01 · 169 =
= 0,01 · 13 = …

Снова требуется вспомнить правило извлечения квадратного корня из десятичной дроби и умножение десятичных дробей.

0,01 · 169 = 0,01 · 169 =
= 0,01 · 13 = 0,1 · 13 = 1,3

Алимов 9 класс № 343 (6)

6)
символ квадратного корня
2
5
  ·
символ квадратного корня
5
7
  ·
символ квадратного корня
7
8
=
=
символ квадратного корня
2
5
 · 
5
7
 · 
7
8
=
символ квадратного корня
2 · 5 · 7
5 · 7 · 8
=
=
символ квадратного корня
2 · 5 · 7
5 · 7 · 84
=
символ квадратного корня
1
4
=
1
2

Алимов 9 класс № 346 (1, 4)

1) (8 + 2)2 = …

Для решения примера используем формулу квадрат суммы.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(8 + 2)2 =
= (8)2 + 2 · 8 · 2 + (2)2 =
= 8 + 2 · 8 · 2 + 2 = 10 + 2 · 16 =
= 10 + 2 · 4 = 10 + 8 = 18

4) (52 + 25)(52 − 25) = …

Обратите внимание, произведение в скобках похоже на формулу «Разность квадратов» в обратном порядке.

(a2 − b2) = (a − b)(a + b)
(a − b)(a + b) = (a2 − b2)

Действительно, если заменить в формуле «a» на «52» и «b» на «25», то получится формула сокращенного умножения «Разность квадратов».

(ab)(a + b) = (a2b2)

(52 + 25)(5225) =
= (52)2 − (25)2 = …

Используем свойство «Степень произведения».

(a · b)2 = a2 · b2

(52 + 25)(52 − 25) =
= (52)2 − (25)2 =
= 52 · (2)2 − 22 · (5)2 =
= 25 · 2 − 4 · 5 = 50 − 20 = 30