Карандаш и циркуль рок звезда надпись на парте свойство степень в степени символ бетмэна скучно надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Поступать наоборот — это тоже подражание.    Георг Кристоф Лихтенберг
На главную страницу На главную страницу на главную

Что такое
квадратный корень

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель Поддержать сайтспасибо

В уроке «Степень числа» мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 32 = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?

Запомните! !

Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9», это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:

9 = 3

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

знак квадратного корня и подкоренное выражение

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом. Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

подкоренное выражение из чисел подкоренное выражение из букв
Запомните! !

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.

  • −9 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
  • 64 = 8
  • −1,44 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
  • 256 = 16

Квадратный корень из нуля

Запомните! !

Квадратный корень из нуля равен нулю.

0 = 0

Квадратный корень из единицы

Запомните! !

Квадратный корень из единицы равен единице.

1 = 1

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто. Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от 1 до 20.

Решение примеров с квадратными корнями

№ 307 Алимов 9 класс

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

  • 81 = 9
  • 64 = 8
  • 100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Важно! Галка

При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:

  1. забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
  2. вычислить для целого числа квадратный корень;
  3. полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из правила умножения десятичных дробей).

Более подробно разберем на примере ниже.

№ 307 Алимов 9 класс

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби «0,16».

0,16 =

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа «16».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает «16». Это число «4».

16 = 4
0,16 = …

Вспомним правило умножения десятичных дробей. Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой дроби.

Т.е., например, при умножении «0,15» на «0,3» в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

0,15 · 0,3 = 0,045

Значит, при вычислении квадратного корня 0,16 нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой. Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться два знака после запятой, как у десятичной дроби «0,16».

Получается, что ответ — десятичная дробь «0,4».

0,16 = 0,4

Убедимся, что квадрат десятичной дроби «0,42» дает «0,16». Умножим в столбик «0,4» на «0,4».

умножение 0,4 на 0,4 в столбик

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

1,44 =

Представим вместо десятичной дроби «1,44» целое число «144». Какое число в квадрате даст «144»? Ответ — число «12».

122 = 144

144 = 12

1,44 = …

Т.к. в десятичной дроби «1,44» — два знака после запятой, значит в десятичной дроби, которая дала в квадрате «1,44» должен быть один знак после запятой.

1,44 = 1,2

Убедимся, что «1,22» дает в квадрате «1,44».

1,22 = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел 2, 3, 5, 6, и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен 2 или 3 и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

15 − 2 · 4 = 15 − 8 = 7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.

15 − 2 · 4 = 15 − 8 = 7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до «0,001».

15 − 2 · 4 = 15 − 8 = 7 ≈ 2,646