Карандаш и циркуль малыш йода надпись на парте умножение дробей надпись на парте Цой жив! крестный отец надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню
На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков

Начальная школа
Математика 5 класс
Математика 6 класс
Алгебра 7 класс
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
Алгебра 9 класс
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
Ученье — свет, а неученье — чуть свет и на работу.Народная мудрость
На главную страницу На главную страницу на главную

Как избавиться от иррациональности

лупа
Введите тему
Скрепки
Поддержать сайтспасибо
Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня
Важно! Галка

Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.

  • √6
    2
       в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет;
  • 5
    √6
       в знаменателе есть
    корень     «√6» — иррациональность в знаменателе есть.
  • 4
    √7 − √3
      в знаменателе есть корни «√7» и «√3» — иррациональность есть.
  • a + b
    √c − 3
      в знаменателе есть
    корень     «√c − 3» — иррациональность в знаменателе есть.
Запомните! !

Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.

Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?

Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.

Запомните! !

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.

По традиции разберемся на практике.

Разбор примера

Исключить иррациональность из знаменателя:

3
√5

Зададим себе вопрос, на что нужно умножить «√5» в знаменателе, чтобы избавиться от корня.

Ответ: на «√5». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.

√5 · √5 = √5 · 5 = √52 = 5

Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на «√5», чтобы избавиться от корня в знаменателе.

3
√5
=
3 · √5
√5 · √5
=
3 · √5
√5 · 5
=
3 · √5
√52
=
=
3 · √5
5

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Запомните! !

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.

Разберемся по традиции на примере.

Разбор примера

Исключить иррациональность из знаменателя:

1
2 − √3

На что нужно умножить знаменатель «2 − √3», чтобы убрать из него корень?

Теперь недостаточно умножить знаменатель на «√3», ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.

(2 − √3) · √3 = 2√3 − √3 · √3 =

= 2√3 − 3

Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.

Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.

(a + b)(a − b) = a2 − b2

Представим, что «2 − √3» — это часть формулы.

(a + b)(a − b) = a2 − b2
(? + ?)(2 − √3) = ?2 − ?2

Логично предположить, что в формуле «a» — это «2», «b» — «√3». Подставим вместо знаков «?» числа.

(a + b)(a − b) = a2 − b2

(2 + √3)(2 − √3) = 22 − √32 = 4 − 3 = 1

То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби требуется умножить знаменатель «2 − √3»
на «2 + √3» и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.

Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на «2 + √3».

1
2 − √3
=
1 · (2 + √3)
(2 − √3) · (2 + √3)
=
=
2 + √3
22 − √32
=
2 + √3
4 − 3
=
2 + √3
1
= 2 + √3

Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе

Разбор примера

Исключить иррациональность из знаменателя:

2)
2
√6
2
√6
=
2 · √6
√6 · √6
=
2 · √6
√6 · 6
=
2· √6
√62
=
=
2 · √6
6

Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.

7)
√5 − √7
√5 + √7
=

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a2 − b2

Умножим и числитель, и знаменатель на «(√5 − √7)», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.

√5 − √7
√5 + √7
=
(√5 − √7)(√5 − √7)
(√5 + √7)(√5 − √7)
=
=
(√5 − √7)2
√52 − √72
= …

Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

√5 − √7
√5 + √7
=
(√5 − √7)(√5 − √7)
(√5 + √7)(√5 − √7)
=
=
(√5 − √7)2
√52 − √72
=
=
(√5)2 − 2 · √5 · √7 + (√7)2
√52 − √72
=

=
5 − 2√5 · 7 + 7
5 − 7
=
12 − 2√35
− 2
=
= −
12 − 2√35
2
= …

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь.

√5 − √7
√5 + √7
=
(√5 − √7)(√5 − √7)
(√5 + √7)(√5 − √7)
=
=
(√5 − √7)2
√52 − √72
=

=
(√5)2 − 2 · √5 · √7 + (√7)2
√52 − √72
=
=
5 − 2√5 · 7 + 7
5 − 7
=
12 − 2√35
− 2
=

= −
12 − 2√35
2
= −
2 · (6 − √35)
2
=
= −
2 (6 − √35)
2
=
= − (6 − √35) = −6 + √35

Разбор примера

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

5)
1
√a − √b

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a2 − b2

Умножим и числитель, и знаменатель на «(√a + √b)», чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.

5)
1
√a − √b
=
1 · (√a + √b)
(√a − √b) · (√a + √b)
=
=
√a + √b
(√a)2 − (√b)2
=
√a + √b
a − b
Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня

Ваши комментарии

Важно! Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

Отправить
крестный отец надпись на парте