Карандаш и циркуль 6 умножить на 7 на парте за что?! надпись на парте макс пэйн надпись на парте грустный смайлик надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Самый верный признак неисполнения обещания — это та легкость, с которой его дают.Аксель Оксеншерна
На главную страницу На главную страницу на главную

Квадратные неравенства с одним корнем или без корней

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

Прежде чем перейти к разбору решений не совсем типичных квадратных неравенств, потренируйтесь в решении обычных квадратных неравенств,
у которых при решении соответствующего квадратного уравнения получаются два корня.

Квадратные неравенства, у которых получается один корень

Рассмотрим неравенство, в котором при решении квадратного уравнения методом интервалов получается только один корень. Например, требуется решить следующее квадратное неравенство:

x2 − 2x + 1 ≤ 0

Используем метод интервалов для решения квадратного неравенства. Сразу переходим к п.3 правила из урока «Метод интвервалов», так как п.1 и п.2 уже выполнены. То есть, приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

x2 − 2x + 1 = 0

x1;2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 · 1 · 1
2 · 1


x1;2 =
2 ± √4 − 4
2


x1;2 =
2 ± √0
2


x1;2 =
2
2

x1 = x2 = 1

У нас получилось, что оба корня имеют одно одинаковое значение равное единице. Другими словами, значение корня повторяется два раза. Отметим это значение на числовой оси согласно п.5 из правила метода интервалов.

корень уравнения неравенства на числовой оси

Теперь по п.6 отметим знаки внутри интервалов. Но в отличии от решения обычных квадратных неравенств с двумя различными корнями здесь появляется важный нюанс.

Запомните! !

Если значение корня в уравнении повторяется четное количество раз, то при расставлении знаков в интервалах при переходе через этот корень знак не меняется.

В нашем случае значение корня повторяется два раза «x1 = x2 = 1». Значит, при переходе через это значение знак не поменяется. С учетом выше сказанного проставим знаки в интервалах справа налево, начиная со знака «+».

корень уравнения неравенства на числовой оси

Теперь по исходному неравенству «x2 − 2x + 1 ≤ 0» определяем, какие интервалы мы запишем в ответ. Исходя из знак неравенства делаем вывод, что нас интересуют отрицательные интервалы.

Таких интервалов на нашем рисунке нет, но неравенство нестрогое, значит, только число «1» является решением неравенства. Запишем ответ.

Ответ: x = 1

Убедимся в правильности нашего решения, подставив «x = 1» в исходное неравенство.

x2 − 2x + 1 ≤ 0

12 − 2 · 1 + 1 ≤ 0
0 ≤ 0
(верно)

Квадратные неравенства, не имеющие корней (нет решений)

Рассмотрим квадратные неравенства, у которых при решении соответствующего квадратного уравнения не получается ни одного корня. Пусть требуется решить следующее квадратное неравенство.

x2 + 2x + 7 ≤ 0

П.1 и п.2 для решения этого квадратного неравенства методом интервалов уже выполнен, поэтому сразу перейдем к п.3, то есть к решению соответсвующего квадратного уравнения.

x2 + 2x + 7 ≤ 0

x2 + 2x + 7 = 0

x1;2 =
2 ± √22 − 4 · 7 · 1
2 · 1


x1;2 =
2 ± √4 − 28
2


x1;2 =
2 ± √24
2


Нет действительных корней

При решении квадратного уравнения мы получили, что действительных корней нет. Но это вовсе не означает, что исходное квадратное неравенство невозможно решить.

Запомните! !

Если при решении квадратного уравнения для неравенства получилось, что действительных корней нет, значит, ответом квадратного неравенства будет: «нет действительных решений».

Так и запишем в ответ.

Ответ: нет действительных решений.

При написании ответа для квадратного неравенства важно помнить, что изначально мы решаем именно неравенство, поэтому речь идет именно о «решениях», а не о «корнях».

Помните, что решением любых неравенств, как правило, являются области решений (множество чисел), а в уравнениях — это конкретные числа, которые мы называем корнями уравнений.

Стоит запомнить для себя: уравнения — корни, неравенства — решения.

В завершении урока разберем еще одно квадратное неравенство, при решении которого получается только один корень.

x2 − 6x + 9 > 0

x2 − 6x + 9 = 0

x1;2 =
6 ± √62 − 4 · 1 · 9
2 · 1


x1;2 =
6 ± √36 − 36
2


x1;2 =
6 ± √0
2


x1;2 =
6 ± 0
2

x1;2 =
6
2

x1 = x2 = 3

Корень повторяется два раза, значит, знак при переходе через число «3» не меняется.

определение знаков по методу интервалов

Выберем нужные интервалы. В исходном неравенстве « x2 − 6x + 9 > 0 », значит, нам нужны интервалы со знаком «+».

выбор интервалов как ответ квадратного неравенства Ответ: x < 3;   x > 3