Карандаш и циркуль лицо джокера макс пэйн надпись на парте люблю себя надпись на парте типа крутой надпись на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Если вам нечего ответить своему оппоненту, не всё потеряно: вы можете сказать, что вы о нём думаете.Элберт Хаббард
На главную страницу На главную страницу на главную

Квадратные неравенства.
Метод интервалов

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

Прежде чем разбираться, как решать квадратное неравенство, давайте рассмотрим, какое неравенство называют квадратным.

Запомните! !

Неравенство называют квадратным, если старшая (наибольшая) степень неизвестного «x» равна двум.

Потренируемся определять тип неравенства на примерах.

Неравенство Тип
x − 7 < 0 линейное
x2 + 5x ≥ 0 квадратное
2x − 7 > 5 линейное
x2 + x − 12 ≤ 0 квадратное

Как решить квадратное неравенство

В предыдущих уроках мы разбирали, как решать линейные неравенства. Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом.

Важно! Галка

Решать квадратное неравенство таким же образом как и линейное нельзя!

Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов.

Что такое метод интервалов

Методом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать этот метод и почему он получил такое название.

Запомните! !

Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов нужно:

  1. перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль;
  2. сделать так, чтобы при неизвестном «x2» стоял положительный коэффициент;
  3. приравнять левую часть неравенства к нулю и решить полученное квадратное уравнение;
  4. полученные корни уравнения разместить на числовой оси в порядке возрастания; корни уравнения на числовой оси
  5. нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с «+», проставить чередуя знаки «+» и «»; арки метода интервалов
  6. выбрать необходимые интервалы и записать их в ответ.

Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения квадратного неравенства по алгоритму выше.

Требуется решить квадратное неравенство.

x2 + x − 12 < 0

Итак, согласно п.1 мы должны перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль. В заданном неравенстве «x2 + x − 12 < 0» ничего дополнительно делать не требуется, так как в правой части и так уже стоит ноль.

Переходим к п.2. Необходимо сделать так, чтобы перед «x2» стоял положительный коэффициент. В неравенстве «x2 + x − 12 < 0» при «x2» стоит положительный коэффициент «1», значит, снова нам ничего делать не требуется.

Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

x2 + x − 12 = 0

x1;2 =
1 ± √12 − 4 · 1 · (−12)
2 · 1


x1;2 =
1 ± √1 + 48
2


x1;2 =
1 ± √49
2


x1;2 =
1 ± 7
2

x1 =
1+ 7
2
x2 =
1 7
2
x1 =
8
2
x2 =
−6
2
x1 = 4 x2 = −3

Теперь по п.4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.

корни уравнения на числовой оси

Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси разным образом.

Теперь, как сказано в п.5, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.

корни уравнения на числовой оси

Проставим знаки внутри интервалов. Справа налево чередуя, начиная с «+», отметим знаки.

корни уравнения на числовой оси

Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ. Вернемся к нашему неравенству.

Так как в нашем неравенстве «x2 + x − 12 < 0», значит, нам требуются отрицательные интервалы. Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.

ответ квадратного неравенства на числовой оси

Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами «−3» и «4», поэтому запишем его в ответ в виде двойного неравенства
«−3 < x < 4».

Запишем полученный ответ квадратного неравенства.

Ответ: −3 < x < 4

К слову сказать, именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами, метод интервалов и получил свое название.

После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа «−3 < x < 4» и подставим его вместо «x» в исходное неравенство. Если мы получим верное неравенство, значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.

проверка решения квадратного неравенства

Возьмем, например, из интервала число «0». Подставим его в исходное неравенство «x2 + x − 12 < 0».

x2 + x − 12 < 0

02 + 0 − 12 < 0
−12 < 0
(верно)

Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.

Краткая запись решения методом интервалов

Сокращенно запись решения квадратного неравенства «x2 + x − 12 < 0» методом интервалов будет выглядеть так:

x2 + x − 12 < 0

x2 + x − 12 = 0

x1;2 =
1 ± √12 − 4 · 1 · (−12)
2 · 1


x1;2 =
1 ± √1 + 48
2


x1;2 =
1 ± √49
2


x1;2 =
1 ± 7
2


x1 =
1+ 7
2
x2 =
1 7
2
x1 =
8
2
x2 =
−6
2
x1 = 4 x2 = −3
ответ квадратного неравенства на числовой оси
Ответ: −3 < x < 4

Другие примеры решения квадратных неравенств

Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:

2x2 − x ≥ 0

В правой части неравенство уже стоит ноль. При «x2» стоит «2» (положительный коэффициент), значит можно сразу переходить к поиску корней.

2x2 − x ≥ 0

2x2 − x = 0

x1;2 =
−(−1) ± √(−12) − 4 · 2 · 0
2 · 2


x1;2 =
1 ± √1
4


x1;2 =
1 ± 1
4


x1 =
1+ 1
4
x2 =
1 1
4
x1 =
2
4
x2 =
0
4
x1 =
1
2
x2 = 0
решение квадратного неравенства 2x - x < 0
Ответ: x ≤ 0;    x ≥
1
2

Рассмотрим пример, где перед «x2» в квадратном неравенстве стоит отрицательный коэффициент.

−x2 − 3x + 4 ≥ 0

По п.2 общих правил решения методом интервалов нам нужно сделать так, чтобы перед «x2» стоял положительный коэффициент. Для этого умножим все неравенство на «−1».

Важно! Галка

Помните, что при умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

            −x2 − 3x + 4 0 | ·(−1)
x2 + 3x − 4 0

Можно переходить к п.4 и п.5. Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение. Затем расположим полученные корни на числовой оси и проведем между ними «арки».

x2 + 3x − 4 ≤ 0

x2 + 3x − 4 = 0

x1;2 =
−3 ± √32 − 4 · 1 · (−4)
2 · 1

x1;2 =
−3 ± √9 + 16
2


x1;2 =
−3 ± √25
2


x1;2 =
−3 ± 5
2


x1 =
3 + 5
2
x2 =
3 5
2
x1 =
8
2
x2 =
−2
2
x1 = 4 x2 = −1
метод интервалов для квадратного неравенства x (в квадрате) - 3x + 4 > 0
Важно! Галка

При определении того какие интервалы нам нужно брать в ответ, исходить нужно из самого последнего изменения неравенства перед нахождением его корней.

В нашем случае самая последняя версия неравенства перед поиском корней уравнения это «x2 + 3x − 4 ≤ 0».

Значит для ответа нужно выбирать интервалы со знаком «».

решение квадратного неравенства x (в квадрате) - 3x + 4 > 0 Ответ: −1 ≤ x ≤ 4

К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше. Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.

Как решить квадратные неравенства в таких случаях, мы разберем в следующем уроке «Квадратные неравенства с одним корнем или без корней».