Карандаш и циркуль нарисованный автобус ручкой разность квадратов надпись на парте за что?! надпись на парте бэтман ручкой

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Спорить гораздо легче, чем понимать.Гюстав Флобер
На главную страницу На главную страницу на главную

Как решать задачи на квадратичную функцию

Найти репетиторапортфель
лупа Скрепки

В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.


Как найти нули квадратичной функции

Запомните! !

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо «y» число ноль.

Рассмотрим задачу.

Найти нули квадратичной функции «y = x2 − 3».

Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное квадратное уравнение.

0 = x2 − 3
x2 − 3 = 0
x1;2 =
0 ± √02 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =
± √12
2

x1;2 =
± √4 · 3
2

x1;2 =
± 2√3
2

x1;2 = ±√3
x1 = √3 x2 = 3

Ответ: нули функции «y = x2 − 3» :      x1 = √3;      x2 = 3 .

Как найти при каких значениях «x» квадратичная функция принимает заданное числовое значение

Запомните! !

Чтобы найти при каких значениях «x» квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:

  • вместо «y» подставить в функцию заданное числовое значение;
  • решить полученное квадратное уравнение относительно «x».

Рассмотрим задачу.

При каких значениях «x» функция «y = x2 − x − 3» принимает значение «−3».

Подставим в исходную функцию «y = x2 − x − 3» вместо «y = −3» и найдем «x».

y = x2 − x − 3

−3 = x2 − x − 3
x2 − x − 3 = −3
x2 − x − 3 + 3 = 0
x2 − x = 0
x1;2 =
1 ± √12 − 4 · 1 · 0
2 · 1

x1;2 =
1 ± √1
2

x1;2 =
1 ± 1
2

x1 =
1 + 1
2
x2 =
1 − 1
2
x1 =
2
2
x2 =
0
2
x1 = 1 x2 = 0

Ответ: при «x = 0» и «x = 1» функция «y = x2 − x − 3» принимает значение «y = −3».


Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Запомните! !

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

  • приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся «x»);
  • решить полученное уравнение относительно «x»;
  • подставить полученные числовые значения «x» в любую из функций и найти координаты точек по оси «Оy».

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x2» и прямой «y = 3 − 2x».


Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно «x».

x2 = 3 − 2x
x2 − 3 + 2x = 0
x2 + 2x − 3 = 0
x1;2 =
2 ± √22 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =
2 ± √4 + 12
2

x1;2 =
2 ± √16
2

x1;2 =
2 ± 4
2

x1 =
2 + 4
2
x2 =
2 − 4
2
x1 =
6
2
x2 =
−2
2
x1 = 3 x2 = −1

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в «y = 3 − 2x») полученные числовые значения «x», чтобы найти координаты «y» точек пересечения.

1)   x = 3
y = 3 − 2x
y(3) = 3 − 2 · 3 = 3 − 6 = −3
(·) A (3; −3)
— первая точка пересечения.

2)   x = −1
y = 3 − 2x
y(−1) = 3 − 2 · (−1) = 3 + 2 = 5
(·) B (−1; 5)
— вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы «y = x2» и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (3; −3) и (·) B (−1; 5).


Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Запомните! !

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси «Ox» вместо «x», а координату по оси «Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Рассмотрим задачу:

Не строя графика функции «y = x2», определить, какие точки принадлежат ему: (·) А(2; 6),     (·) B(−1; 1).

Подставим в функцию «y = x2» координаты точки (·) А(2; 6).

y = x2
6 = 22
6 = 4
(неверно)

Значит, точка (·) А(2; 6) не принадлежит графику функции «y = x2».

Подставим в функцию «y = x2» координаты точки (·) B(−1; 1).

y = x2
1 = (−)12
1 = 1
(верно)

Значит, точка (·) B(−1; 1) принадлежит графику функции «y = x2».


Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Рассмотрим задачу

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x2 −3x + 2» с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox». На графике функции эти точки выглядят так:

точки пересечения с осью Ox

Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox» равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в исходную функцию «y = x2 −3x + 2» и найдем их координаты по оси «Ox».

0 = x2 −3x + 2
x2 −3x + 2 = 0
x1;2 =
3 ± √32 − 4 · 1 · 2
2 · 1

x1;2 =
3 ± √9 − 8
2

x1;2 =
3 ± √1
2

x1;2 =
3 ± 1
2

x1 =
3 + 1
2
x2 =
3 − 1
2
x1 =
4
2
x2 =
2
2
x1 = 2 x2 = 1

Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0).

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».

точки пересечения с осью Oy

Как видно на рисунке выше, координата «x» точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.

Подставим «x = 0» в исходную функцию «y = x2 −3x + 2» и найдем координату точки по оси «Oy».

y(0) = 02 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью «Ox»: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).


Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает значения» — речь идет о значениях«y» . Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях «x», координата «y» положительна или отрицательна.

Запомните! !

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

  • провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось «Ox»;
  • определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
  • записать ответ для каждого промежутка относительно «x».

Рассмотрим задачу.

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.

положительные и отрицательные значения функциии

Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.

положительные и отрицательные значения функциии с доп. прямыми

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

положительные и отрицательные значения на графике

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает «x» в каждой из выделенных областей.

положительные и отрицательные значения на графике c подписью относительно x

Ответ: при «x < −1» и «x > 2» функция принимает отрицательные значения; при «−1 < x < 2» функция принимает положительные значения.