Карандаш и циркуль не пишите на партах стьюи на парте квадрат суммы надпись на парте лицо кота симона на парте

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Лень закаляет характер, если вспомнить, сколько требуется усилий, чтобы её побороть. Тристан Бернар
На главную страницу На главную страницу на главную

Неполные квадратные
уравнения

Найти репетиторапортфель
лупа Скрепки

В уроке «Как решать квадратные уравнения» мы разобрали решение обычных квадратных уравнений, но есть уравнения, в которых не всегда очевидно, как найти коэффициенты «a», «b» и «c» для формулы поиска корней.

Например, рассмотрим такое квадратное уравнение.

4x2 − 64 = 0

Давайте сравним это уравнение с общим видом квадратного уравнения
«ax2 + bx + c = 0» и определим, чему в нем равны «a», «b» и «c».

4x2 − 64 = 0
  • a = 4
  • b = ?
  • c= −64

Возникает вопрос: «Чему здесь равен коэффициент «b»?» Ответ прост: «b = 0». На самом деле по-другому уравнение можно записать так:

4x2 − 64 = 0
4x2 + 0 · x − 64 = 0

Теперь очевидно, чему равны коэффициенты «a», «b» и «c» в этом уравнении .

4x2 − 64 = 0
4x2 + 0 · x − 64 = 0
  • a = 4
  • b = 0
  • c = −64
Зная чему равны коэффициенты, можно применить формулу нахождения
корней «x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a
».
4x2 − 64 = 0

x1;2 =
−0 ± √02 − 4 · 4 · (−64)
2 · 4

x1;2 =
−0 ± √0 + 1024
8

x1;2 =
± √1024
8

x1 =
+32
8
x2 =
32
8
x1 = 4 x2 = −4

Ответ: x1 = 4; x2 = −4
Запомните! !

Квадратные уравнения, в которых коэффициенты «b» и/или «c» равны нулю, называют неполными.

Примеры неполных квадратных уравнений

Рассмотрим другие примеры неполных квадратных уравнений. Выпишем их коэффициенты «a», «b» и «c» и найдем корни.


3x2 = 0

Найдем коэффициенты:
  • a = 3
  • b = 0
  • с = 0
Подставим коэффициенты в формулу для корней:

x1;2 =
−0 ± √02 − 4 · 3 · 0
2 · 3

x1;2 =
0 ± √0
6

x1;2 =
0
6

x = 0
Ответ: x = 0
5x2 = 125
5x2 − 125 = 0

Найдем коэффициенты:
  • a = 5
  • b = 0
  • с = −125
Подставим коэффициенты в формулу для корней:

x1;2 =
−0 ± √02 − 4 · 5 · 125
2 · 5

x1;2 =
0 ± √2500
10

x1;2 =
0 ± 50
10

x1 =
50
10
x2 =
−50
10
x1 = 5 x2 = −5

Ответ: x1 = 5; x2 = −5
9x2 − x = 0

Найдем коэффициенты:
  • a = 9
  • b = −1
  • с = 0
Подставим коэффициенты в формулу для корней:

x1;2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 · 9 · 0
2 · 9

x1;2 =
1 ± √1 − 0
18

x1;2 =
1 ± 1
18

x1 =
1 + 1
18
x2 =
1 − 1
18
x1 =
2
18
x2 =
0
18
x1 =
1
9
x2 = 0

Ответ: x1 =
1
9
; x2 = 0

Другие способы решения неполных квадратных уравнений

Любое неполное квадратное уравнение можно решить, не используя формулу для корней квадратного уравнения.

Корни в неполном квадратном уравнении можно найти, применяя формулы сокращенного умножения и правило деления уравнения на число.

Решим другим методом уравнения, которые мы решали по формуле выше.


3x2 = 0

Вспомним, что только умножение на «0» даст в результате ноль. Поэтому становится понятно, что в этом уравнении только один корень «x = 0».

Ответ: x = 0
5x2 = 125

Разделим левую и правую часть уравнению по правилу деления на «5».

5x2 = 125         | (:5)
5x2 (:5) = 125 (:5)
x2 = 25

Перенесем все в левую часть.

x2 − 25 = 0

Используем формулу разность квадратов.

(x − 5)(x + 5) = 0

Произведение многочленов в скобках будет равно нулю в том случае, когда любая из скобок окажется равна нулю. Приравняем каждую скобку к нулю и найдем корни уравнения.

(x − 5) = 0 (x + 5) = 0
x = 5 x = − 5

Ответ: x1 = 5; x2 = −5
9x2 − x = 0

Вынесем общий множитель за скобки в левой части.

9x2 − x = 0
x(9x − 1) = 0

Произведение будет равно нулю в том случае, когда один из множителей равен нулю.

x = 0 (9x − 1) = 0
9x = 1         | (:9)
9x (:9) = 1 (:9)
x =
1
9

Ответ: x1 = 0 ; x2 =
1
9
Важно! Галка

Если у вас не получается решить уравнение с помощью формул сокращенного умножения, используйте формулу для поиска корней квадратного уравнения.

С помощью этой формулы всегда можно решить любое квадратное уравнение!