Карандаш и циркуль грустный смайлик надпись на парте корень из буквы степень 7 умножить на 8 на парте че такой серьезный надпись

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.Л.И. Маркушевич
На главную страницу На главную страницу на главную

Неполные квадратные
уравнения

Найти репетиторапортфель
лупа Скрепки

В уроке «Как решать квадратные уравнения» мы разобрали решение обычных квадратных уравнений, но есть уравнения, в которых не всегда очевидно, как найти коэффициенты «a», «b» и «c» для формулы поиска корней.

Например, рассмотрим такое квадратное уравнение.

4x2 − 64 = 0

Давайте сравним это уравнение с общим видом квадратного уравнения
«ax2 + bx + c = 0» и определим, чему в нем равны «a», «b» и «c».

4x2 − 64 = 0
  • a = 4
  • b = ?
  • c= −64

Возникает вопрос: «Чему здесь равен коэффициент «b»?» Ответ прост: «b = 0». На самом деле по-другому уравнение можно записать так:

4x2 − 64 = 0
4x2 + 0 · x − 64 = 0

Теперь очевидно, чему равны коэффициенты «a», «b» и «c» в этом уравнении .

4x2 − 64 = 0
4x2 + 0 · x − 64 = 0
  • a = 4
  • b = 0
  • c = −64
Зная чему равны коэффициенты, можно применить формулу нахождения
корней «x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a
».
4x2 − 64 = 0

x1;2 =
−0 ± √02 − 4 · 4 · (−64)
2 · 4

x1;2 =
−0 ± √0 + 1024
8

x1;2 =
± √1024
8

x1 =
+32
8
x2 =
32
8
x1 = 4 x2 = −4

Ответ: x1 = 4; x2 = −4
Запомните! !

Квадратные уравнения, в которых коэффициенты «b» и/или «c» равны нулю, называют неполными.

Примеры неполных квадратных уравнений

Рассмотрим другие примеры неполных квадратных уравнений. Выпишем их коэффициенты «a», «b» и «c» и найдем корни.


3x2 = 0

Найдем коэффициенты:
  • a = 3
  • b = 0
  • с = 0
Подставим коэффициенты в формулу для корней:

x1;2 =
−0 ± √02 − 4 · 3 · 0
2 · 3

x1;2 =
0 ± √0
6

x1;2 =
0
6

x = 0
Ответ: x = 0
5x2 = 125
5x2 − 125 = 0

Найдем коэффициенты:
  • a = 5
  • b = 0
  • с = −125
Подставим коэффициенты в формулу для корней:

x1;2 =
−0 ± √02 − 4 · 5 · 125
2 · 5

x1;2 =
0 ± √2500
10

x1;2 =
0 ± 50
10

x1 =
50
10
x2 =
−50
10
x1 = 5 x2 = −5

Ответ: x1 = 5; x2 = −5
9x2 − x = 0

Найдем коэффициенты:
  • a = 9
  • b = −1
  • с = 0
Подставим коэффициенты в формулу для корней:

x1;2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 · 9 · 0
2 · 9

x1;2 =
1 ± √1 − 0
18

x1;2 =
1 ± 1
18

x1 =
1 + 1
18
x2 =
1 − 1
18
x1 =
2
18
x2 =
0
18
x1 =
1
9
x2 = 0

Ответ: x1 =
1
9
; x2 = 0

Другие способы решения неполных квадратных уравнений

Любое неполное квадратное уравнение можно решить, не используя формулу для корней квадратного уравнения.

Корни в неполном квадратном уравнении можно найти, применяя формулы сокращенного умножения и правило деления уравнения на число.

Решим другим методом уравнения, которые мы решали по формуле выше.


3x2 = 0

Вспомним, что только умножение на «0» даст в результате ноль. Поэтому становится понятно, что в этом уравнении только один корень «x = 0».

Ответ: x = 0
5x2 = 125

Разделим левую и правую часть уравнению по правилу деления на «5».

5x2 = 125         | (:5)
5x2 (:5) = 125 (:5)
x2 = 25

Перенесем все в левую часть.

x2 − 25 = 0

Используем формулу разность квадратов.

(x − 5)(x + 5) = 0

Произведение многочленов в скобках будет равно нулю в том случае, когда любая из скобок окажется равна нулю. Приравняем каждую скобку к нулю и найдем корни уравнения.

(x − 5) = 0 (x + 5) = 0
x = 5 x = − 5

Ответ: x1 = 5; x2 = −5
9x2 − x = 0

Вынесем общий множитель за скобки в левой части.

9x2 − x = 0
x(9x − 1) = 0

Произведение будет равно нулю в том случае, когда один из множителей равен нулю.

x = 0 (9x − 1) = 0
9x = 1         | (:9)
9x (:9) = 1 (:9)
x =
1
9

Ответ: x1 = 0 ; x2 =
1
9
Важно! Галка

Если у вас не получается решить уравнение с помощью формул сокращенного умножения, используйте формулу для поиска корней квадратного уравнения.

С помощью этой формулы всегда можно решить любое квадратное уравнение!