Карандаш и циркуль люблю себя надпись на парте символ охотников на приведений на парте будь няшей надпись на парте покер фейс рисунок

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Чтобы сделать что-нибудь, требуется не так уж много сил; но решить, что именно надо сделать, — вот что требует огромной затраты сил.Фрэнк Хаббард
На главную страницу На главную страницу на главную

Как решать
квадратные уравнения

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

В предыдущих уроках мы разбирали «Как решать линейные уравнения», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно! Галка

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2», значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

  • 5x2 − 14x + 17 = 0
  • −x2 + x +
    1
    3
    = 0
  • x2 + 0,25x = 0
  • x2 − 8 = 0
Важно! ГалкаОбщий вид квадратного уравнения выглядит так:
ax2 + bx + c = 0
«a», «b» и «c» — заданные числа.
  • «a» — первый или старший коэффициент;
  • «b» — второй коэффициент;
  • «c» — свободный член.

Чтобы найти «a», «b» и «c» нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a», «b» и «c» в квадратных уравнениях.

Уравнение Коэффициенты
5x2 − 14x + 17 = 0
  • a = 5
  • b = −14
  • с = 17
−7x2 − 13x + 8 = 0
  • a = −7
  • b = −13
  • с = 8
−x2 + x +
1
3
= 0
  • a = −1
  • b = 1
  • с =
    1
    3
x2 + 0,25x = 0
  • a = 1
  • b = 0,25
  • с = 0
x2 − 8 = 0
  • a = 1
  • b = 0
  • с = −8

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней.

Запомните! !

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

  • привести квадратное уравнение к общему виду «ax2 + bx + c = 0». То есть в правой части должен остаться только «0»;
  • использовать формулу для корней:
x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

x2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax2 + bx + c = 0» и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения.

Определим коэффициенты «a», «b» и «c» для этого уравнения.

Уравнение Коэффициенты
x2 − 3x − 4 = 0
  • a = 1
  • b = −3
  • с = −4

Подставим их в формулу и найдем корни.

x2 − 3x − 4 = 0
x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a

x1;2 =
−(−3) ± √(−3)2 − 4 · 1· (−4)
2 · 1

x1;2 =
3 ± √9 + 16
2

x1;2 =
3 ± √25
2

x1;2 =
3 ± 5
2

x1 =
3 + 5
2
x2 =
3 5
2
x1 =
8
2
x2 =
−2
2
x1 = 4 x2 = −1

Ответ: x1 = 4; x2 = −1
Важно! Галка

Обязательно выучите наизусть формулу для нахождения корней.

x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x1;2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a
» часто заменяют подкоренное выражение
«b2 − 4ac» на букву «D» и называют дискриминантом. Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a», «b» и «c» довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax2 + bx + c = 0».

Используем правило переноса и упростим подобные члены.

x2 + 9 + x = 7x
x2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

x1;2 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4 · 1 · 9
2 · 1

x1;2 =
6 ± √36 − 36
2

x1;2 =
6 ± √0
2

x1;2 =
6 ± 0
2

x =
6
2

x = 3

Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Мы помним из определения квадратного корня о том, что извлекать квадратный корень из отрицательного числа нельзя.

Рассмотрим пример квадратного уравнения, у которого нет корней.

5x2 + 2x = − 3
5x2 + 2x + 3 = 0
x1;2 =
−2 ± √22 − 4 · 3 · 5
2 · 5

x1;2 =
−2 ± √4 − 60
10

x1;2 =
−2 ± √−56
10

Ответ: нет действительных корней.

Итак, мы получили ситуацию, когда под корнем стоит отрицательное число. Это означает, что в уравнении нет корней. Поэтому в ответ мы так и записали «Нет действительных корней».

Важно! Галка

Что означают слова «нет действительных корней»? Почему нельзя просто написать «нет корней»?

На самом деле корни в таких случаях есть, но в рамках школьной программы они не проходятся, поэтому и в ответ мы записываем, что среди действительных чисел корней нет. Другими словами «Нет действительных корней».

Неполные квадратные уравнения

Иногда встречаются квадратные уравнения, в которых отсутсвуют в явном виде коэффициенты «b» и/или «c». Как например, в таком уравнении:

4x2 − 64 = 0

Такие уравнения называют неполными квадратными уравнениями. Как их решать рассмотрено в уроке «Неполные квадратные уравнения».