Карандаш и циркуль лицо джокера символ дедпула разность квадратов надпись на парте стирательная резинка

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Историю цивилизации можно выразить в шести словах: чем больше знаешь, тем больше можешь. Эдмон Абу
На главную страницу На главную страницу на главную

Решение линейных неравенств

лупа Скрепки
Найти репетиторапортфель

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Символ Название Тип знака
> больше строгий знак
(число на границе не включается)
< меньше строгий знак
(число на границе не включается)
больше или равно нестрогий знак
(число на границе включается)
меньше или равно нестрогий знак
(число на границе включается)

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно «=» используют любой знак сравнения: «>», «<», «» или «».

Запомните! !

Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства.

x − 6 < 8

Так как в неравенстве «x − 6 < 8» неизвестное «x» стоит в первой степени, такое неравенство называют линейным.

Как решить линейное неравенство

Важно! Галка

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом «1».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Запомните! !

При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на противоположный.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

x 6 < 8
x < 8 + 6
x < 14

Итак, мы получили ответ к неравенству «x < 14». Но что означает такой ответ?

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного «x» и отметим на ней число «14».

число 14 на числовой оси
Запомните! !

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

  • если неравенство строгое, то число отмечается как «пустая» точка. число не входит в решение неравенства Это означает, что число не входит в область решения;
  • если неравенство нестрогое, то число отмечается как «заполненная» точка. число входит в решение неравенства Это означает, что число входит в область решения.

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу «x < 14» все решения неравенства, то есть область слева от числа «14».

ответ неравенства

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство «x − 6 < 8» даст верный результат.

Возьмем, например число «12» из заштрихованной области и подставим его вместо «x» в исходное неравенство «x − 6 < 8».

подставим число в неравенство
12 − 6 < 8
         6 < 8
(верно)

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Важно! Галка

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ «x < 14» можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее «14») будет являться решением неравенства «x − 6 < 8».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

2x − 16 > 0

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

2x − 16 > 0
2x > 16

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x» стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число «2».

Запомните! !

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

  • Если неравенство умножается (делится) на положительное число, то
    знак самого неравенства остаётся прежним.
  • Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число, то
    знак самого неравенства меняется на противоположный.

Разделим «2x > 16» на «2». Так как «2» — положительное число, знак неравенства останется прежним.

          2x > 16     | (:2)
2x (:2) > 16 (:2)      
x > 8        
ответ неравенства 2x - 16 > 0 Ответ: x > 8

Рассмотрим другое неравенство.

9 − 3x > 0

Используем правило переноса.

9 − 3x > 0
−3x > −9

Разделим неравенство на «−3». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

−3x ≥ −9
                   −3x −9      | :(−3)
−3x : (−3) −9 :(−3)
x ≤ 3
ответ неравенства -3x ≥ -9 Ответ: x ≤ 3

Примеры решения линейных неравенств

  • 4(x − 1) ≥ 5 + x
    4x − 4 ≥ 5 + x
    4x − x ≥ 5 + 4
           3x ≥ 9       | (:3)
    3x (:3) ≥ 9 (:3)
    x ≥ 3
    ответ неравенства -3x ≥ -9 Ответ: x ≥ 3
  • x + 2 < 3(x + 2) − 4
    x + 2 < 3x + 6 − 4
    x − 3x < 6 − 4 − 2
    −2x < 6 − 6
    −2x < 0 | :(−2)
    −2x : (−2) > 0 : (−2)
    x > 0

    ответ неравенства x + 2 < 3(x + 2) − 4 Ответ: x > 0