Карандаш и циркуль не пишите на партах стьюи на парте нарисованный автобус ручкой нарисованная бетономешалка

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра старшая школа

Фразы — дело хорошее, но меня цитировать пока не стоит.Администратор
На главную страницу На главную страницу на главную

Формулы сокращённого умножения

Найти репетиторапортфель
лупа Скрепки

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Запомните! !

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Примеры:

  • 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
  • 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Запомните! !

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 1122.

  • Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
    112 = 100 + 1
  • Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
    1122 = (100 + 12)2
  • Воспользуемся формулой квадрата суммы:
    1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

  • (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2

Предостережение!

(a + b)2 не равно a2 + b2

Квадрат разности

Запомните! !

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.


(a b)2 = a2 2ab + b2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)2 = (b − a)2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)2 = a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2

Куб суммы

Запомните! !

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.


(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

  • Выучите, что в начале идёт a3.
  • Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
  • Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
    (a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Предостережение!

(a + b)3 не равно a3 + b3

Куб разности

Запомните! !

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.


(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «−». Перед первым членом a3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «−», затем опять «+» и т.д.

(a − b)3 = + a3 3a2b + 3ab2 b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Запомните! !

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

  • Первая скобка — сумма двух чисел.
  • Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

    a2− ab + b2

    Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Запомните! !

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

  • a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
  • (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».