При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

магнит запомните ! магнит

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a2 - b2 = (a - b)(a + b)

Примеры:

  • 152 - 22 = (15 - 2)(15 + 2) = 13 x 17 = 221
  • 9a2 - 4b2с2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

магнит запомните ! магнит

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 1122.

  • Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
    112 = 100 + 1
  • Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
    1122 = (100 + 12)2
  • Воспользуемся формулой квадрата суммы:
    1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 x 100 x 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

  • (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2

Предостережение!

(a + b)2 не равно a2 + b2

Квадрат разности

магнит запомните ! магнит

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a - b)2 = (b - a)2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 = b2 - 2ab + a2 = (b - a)2

Куб суммы

магнит запомните ! магнит

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

  • Выучите, что в начале идёт a3.
  • Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
  • Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
    (a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Предостережение!

(a + b)3 не равно a3 + b3

Куб разности

магнит запомните ! магнит

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.


(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.

(a - b)3 = + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

магнит запомните ! магнит

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

Сумма кубов - это произведение двух скобок.

  • Первая скобка - сумма двух чисел.
  • Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

    a2- ab + b2

    Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

магнит запомните ! магнит

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

  • a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
  • (aс - 4b)(ac + 4b) = a2c2 - 16b2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».